Question

Uma moeda, viciado de modo que P(H)=3/4 e P(T)=1/4, é lançada três vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorrido. Ache a distribuição, esperança, variância desvio-padrão de X.

Answer 1

A distribuição de X se encontra na resolução abaixo, E(X) = 2,25, Var(X) = 0,5675 e DP(X) = 0,7533.

Considerando que H = Cara e T = Coroa, temos que os possíveis valores de X e as probabilidades de ocorrência são:

X = {0, 1, 2, 3}

P (X = 0) = P (T, T, T) = (1/4)³ = 1/64 = 0,0156

P (X = 1) = P (H, T, T) + P (T, H, T) + P(T, T, H) = 3*(1/4)²*3/4 = 9/64 = 0,1406

P (X = 2) = P (H, H, T)+ P (H, T, H) + P(T, H, H) = 3*(1/4)*(3/4)² = 27/64 = 0,4219

P (X = 3) = P (H, H, H) = (3/4)³ = 27/64 = 0,4219

A distribuição será a probabilidade acumulada de X=0 até X=3:

Fd (X) = ∑ P (X)

Fd(X = 0) = 0,0156

Fd(X = 1) = 0,0156 + 0,1406 = 0,1562

Fd(X = 2) = 0,0156 + 0,1406 + 0,4219 = 0,5781

Fd(X = 3) = 0,0156 + 0,1406 + 0,4219 + 0,4219 = 1

A esperança irá apresentar a média de vezes em que esperaremos que o evento da moeda cair do lado viciado (coroa) ocorra.

E(X) = ∑X*P(X) = 0*0,0156 + 1*0,1406 + 2*0,4219 + 3*0,4219 = 2,25

A variância mostra a dispersão dos valores obtidos com base no valor esperado.

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

E(X²) = ∑X²*P(X) = 0²*0,0156 + 1²*0,1406 + 2²*0,4219 + 3²*0,4219 = 5,63

Var(X) = 5,63 -  2,25² = 0,5675

Por fim, o desvio padrão, que mede a dispersão absoluta do meu sistema, será:

DP (X) = $\sqrt{Var(X)}$ = 0,7533

Bons estudos!