Question

Uma mercadoria que teve os aumentos sucessivos de 10%, 20% e 30% deverá ter um único desconto de x% para voltar ao preço original. Encontre o valor de x.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a taxa de desconto necessária para que o valor do produto volte ao mesmo valor antes dos aumentos é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t_{\%D} \cong 41,73\,\%\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as taxas de aumentos sucessivos:

            $\Large\begin{cases} t' = 10\,\% = 0,1\\t'' = 20\,\% = 0,2\\t''' = 30\,\% = 0,3\end{cases}$

Sabemos que um novo valor "Nv" de um produto após aplicarmos uma taxa de aumento "Ta" acima de um valor "V" é dado por:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} N_{V} = V + Vt_{A}\end{gathered}$

Esta equação pode ser reescrita como:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} N_{V} = V(1 + t_{A})\end{gathered}$

Sabemos também que o valor "V" de um produto após aplicarmos uma taxa de desconto acima do novo valor "Nv" é dado por:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = N_{V} - N_{V}t_{D}\end{gathered}$

Isolando a taxa de desconto "Td" no primeiro membro desta equação, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = N_{V} - N_{V}t_{D}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = N_{V}(1 - t_{D})\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{V}{N_{V}} = 1 - t_{D}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{V}{N_{V}} - 1 = -t_{D}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} 1 - \frac{V}{N_{V}} = t_{D}\end{gathered} }$

Portanto, a taxa de desconto é:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} t_{D} = 1 - \frac{V}{N_{V}}\end{gathered} }$

Desta forma, a taxa percentual de desconto é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{V}{N_{V}}\bigg)\cdot100\end{gathered} }$

Observe que o valor "V" da equação "I" pode ser substituído por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} V = \frac{N_{V}}{1 + t_{A}}\end{gathered} }$

Substituindo "II" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} t_{\%D} = \left(1 - \frac{\dfrac{N_{V}}{1 + t_{A}}}{N_{V}}\right)\cdot100\end{gathered} }$

Simplificando a equação "III", chegamos à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + t_{A}}\bigg)\cdot100\end{gathered} }$

Sabendo que temos três aumentos sucessivos, então temos uma taxa de aumento equivalente "Te" aos três aumentos sucessivos, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} t_{E} = (1 + t')\cdot(1 + t'')\cdot(1 + t''') - 1\end{gathered}$

Além disso, devemos saber que:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t_{A} = t_{E}\end{gathered}$

Substituindo "V" em "IV" temos:

   $\large\displaystyle\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[(1 + t')\cdot(1 + t'')\cdot(1 + t''') - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$

Inserindo as taxas dadas nesta última equação, temos:

  $\large\displaystyle\begin{gathered} t_{\%D} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[(1 + 0,1)\cdot(1 + 0,2)\cdot(1 + 0,3) - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(1 - \frac{1}{1 + \left[1,716 - 1\right]}\bigg)\cdot100\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(1 - \frac{1}{1,716}\bigg)\cdot100\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cong (1 - 0,5827)\cdot100\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cong 0,4173\cdot100\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cong 41,73\,\%\end{gathered}$

Portanto:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} t_{\%D} \cong 41,73\,\%\end{gathered}$  

                             

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/48769516
2. https://brainly.com.br/tarefa/51649611
3. https://brainly.com.br/tarefa/53297144
4. https://brainly.com.br/tarefa/53351190
5. https://brainly.com.br/tarefa/44593780
6. https://brainly.com.br/tarefa/46333113
7. https://brainly.com.br/tarefa/39437686
8. https://brainly.com.br/tarefa/53328892
9. https://brainly.com.br/tarefa/45934351
10. https://brainly.com.br/tarefa/42534384
11. https://brainly.com.br/tarefa/43370739
12. https://brainly.com.br/tarefa/46209452

Answer 2

Explicação passo a passo:

Seja $\mathtt{k}$ o valor da mercadoria. Após os três aumentos sucessivos...

$\\ \mathsf{\left (1 + \dfrac{10}{100} \right ) \cdot \left (1 + \dfrac{20}{100} \right ) \cdot \left (1 + \dfrac{30}{100} \right ) =} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{110}{100} \cdot \dfrac{120}{100} \cdot \dfrac{130}{100} =} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{1716}{1000} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{1,716}}$

Passará a custar $\mathtt{1,716k}$. Posto isto, para que o desconto único corresponda ao valor inicial, temos:

$\\ \mathsf{1,716k \cdot \left ( 1 - \dfrac{x}{100} \right ) = k} \\\\\\ \mathsf{1 - \dfrac{x}{100} = \dfrac{1}{1,716}} \\\\\\ \mathsf{1 - 0,58275 = \dfrac{x}{100}} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{100} = 0,41725} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x \approx 41,72}}}$