Question

Uma matriz quadrada X = aij é simétrica quando aij = aji . Se o determinante da matriz simétrica M é igual a 8, então, o valor da soma x + y + z + w pode ser : a) 9 ou 11 b) 9 ou 25 c) 11 ou 25 d) 9 ou 13 com cálculo por favor.

Answer 1

Resposta da questão 29: [B]

Se M é simétrica, então x = 2, z = 3 e w = y.

Como o determinante de M é igual a 8, temos 1 + 6y + 6y – 9 – y2 – 4 = 8

y2 – 12y + 20 = 0 → y = 2 ou y = 10.

Portanto a soma x + y + z + w pode ser 5 + 4 = 9 ou 5 + 20 = 25.  

Answer 2

A soma x + y + z + w pode ser 9 ou 25. Letra b).

A questão completa é:

Uma matriz quadrada $X = (a_{ij})$ é simétrica

quando $a_{ij} = a_{ji}$. Se o determinante da matriz

simétrica

$M = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\x&1&y\\z&w&1\end{array}\right]$

é igual a 8, então, o valor

da soma x + y + z + w pode ser

A) 9 ou 25.

B) 9 ou 11.

C) 11 ou 25.

D) 9 ou 13.

Já que temos uma matriz 3x3 simétrica vamos ter as igualdades:

$a_{12} = a_{21} \\\\x = 2\\\\a_{13} = a_{31}\\\\z = 3\\\\a_{23} = a_{32}\\\\y = w$

O determinante de M vale 8. Aplicando a Regra de Sarrus:

det(M) = 1 + 2zy + 3xw - 3z - 2x - wy = 8

Substituindo as relações o obtivemos anteriormente:

1 + 2*3y + 3*2w - 3*3 - 2*2 - wy = 8

1 + 6y + 6w - 9 - 4 - wy = 8

6y + 6w - wy = 20

Como w = y, temos:

6y + 6y - y² = 20

-y² + 12y - 20 = 0

Aplicando a Fórmula d Bháskara:

Δ = b² - 4ac = 12² - 4*(-1)*(-20) = 144 - 80 = 64

y = (-12±8)/(-2)

y = 10 = w ou y = 2 = w

Assim, vamos ter:

x + y + z + w = 2 + 2 + 3 + 2 = 9

Ou ainda:

x + y + z + w = 2 + 10 + 3 + 10 = 25

Letra b) é a correta.

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