Question

uma matriz quadrada se diz ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta. dada a matriz begin mathsize 12px style a equals open parentheses table row cell x minus 3 end cell cell negative square root of 5 end cell row cell square root of 5 end cell cell x minus 3 end cell end table close parentheses end style, em que x pertence ao conjunto dos números complexos diferentes de zero. a soma dos valores de x que tornam a uma matriz ortogonal é igual a:

Answer 1

As alternativas são:

a) 6 + 4i

b) 6 - 4i

c) 6

d) 4

Temos que: a₁₁ = x - 3, a₁₂ = -√5, a₂₁ = √2 e a₂₂ = x - 3.

Montando a matriz A(2x2):

$A = \left[\begin{array}{ccc}x-3&-\sqrt{5}\\\sqrt{5}&x-3\end{array}\right]$

Como diz o enunciado, uma matriz é ortogonal quando a matriz transposta é igual a sua inversa, ou seja,

$A^{T} = A^{-1}$

Multiplicando ambos os lados pela matriz A:

$A.A^{T} = A.A^{-1}$

Como $A.A^{-1} = I$, então:

$A.A^{T} = I$

A matriz transposta de A é:

$A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}x-3&\sqrt{5}\\-\sqrt{5}&x-3\end{array}\right]$

Então,

$\left[\begin{array}{ccc}x-3&-\sqrt{5}\\\sqrt{5}&x-3\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x-3&\sqrt{5}\\-\sqrt{5}&x-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Resolvendo, podemos montar o seguinte sistema:

{(x - 3)² + 5 = 1

{√5(x - 3) - √5(x - 3) = 0

{√5(x - 3) - √5(x - 3) = 0

{(x - 3)² + 5 = 1

Então, temos que:

(x - 3)² + 4 = 0

x² - 6x + 9 + 4 = 0

x² - 6x + 13 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-6)² - 4.1.13

Δ = 36 - 52

Δ = -16

$x = \frac{6+-\sqrt{-16}}{2}$

Como -16 = (-1).16 e i² = -1, então -16 = 16i².

$x = \frac{6 +- \sqrt{16i^2}}{2}$

$x = \frac{6+-4i}{2}$

$x' = \frac{6+4i}{2} = 3 + 2i$

$x'' = \frac{6-4i}{2} = 3 - 2i$

Portanto, a soma dos valores de x é:

3 + 2i + 3 - 2i = 6

Alternativa correta: letra c).

Answer 2

Resposta:

ALTERNATIVA CORRETA É A C) 6

Explicação:

ESPERO TER AJUDADO