Question

uma matriz é dita idempotente, se m2 = m...

Answer 1

Oi! Para resolvermos essa questão, precisamos elevar a matriz M ao quadrado, é a mesma coisa que fazer M X M.

Lembrando que para multiplicar matrizes, devemos checar se o número de colunas da primeira é igual ao número linhas da segunda.

$M^{2}=\begin{bmatrix}1-cos\beta &sen\beta \\sen\beta &1+cos\beta \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1-cos\beta &sen\beta \\sen\beta &1+cos\beta \end{bmatrix}\\\\\\M^2=\begin{bmatrix}(1-cos\beta)^2+sen^2\beta &sen\beta(1-cos\beta)+sen\beta(1+cos\beta) \\sen\beta(1-cos\beta)+sen\beta(1+cos\beta) &sen^2\beta +(1+cos\beta)^2 \end{bmatrix}$

$M^2=\begin{bmatrix}1-2cos\beta+cos^2\beta+sen^2\beta&sen\beta-sen{\beta}\cdot{cos}\beta+sen\beta+sen{\beta}\cdot{cos}\beta \\sen\beta-sen{\beta}\cdot{cos}\beta+sen\beta+sen{\beta}\cdot{cos}\beta&sen^2\beta +1+2cos\beta+cos^2\beta \end{bmatrix}$

$M^2=\begin{bmatrix}2-2cos\beta&2sen\beta \\2sen\beta&2+2cos\beta\end{bmatrix}$

Simplificando essa matriz por 2 (dividir todos os seus termos por 2), obtemos:

$M^{2}=\begin{bmatrix}1-cos\beta &sen\beta \\sen\beta &1+cos\beta \end{bmatrix}=M$

Obs.: $sen^2x+cos^2x=1$

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️