Question

Uma matriz A, de quinta ordem, tem determinante igual a 8. Portanto, o valor de x na equação det(2.$A^{-1}$)=10x.det$A^{t}$ é:

A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{4}$
(C) $\frac{1}{20}$
(D) $\frac{1}{64}$
(E) $\frac{1}{320}$

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de determinantes.

Seja uma matriz $A$, de quinta ordem cujo determinante é igual a $8$. Devemos calcular o valor de $x$ na equação:

$\det(2\cdot A^{-1})=10x\cdot\det(A^t)$.

Primeiro, lembre-se que:

• O determinante do produto entre uma constante real $k$ e uma matriz $B$ de ordem $n$ é calculada por $\det(k\cdot B)=k^n\cdot\det(B)$.
• A matriz inversa tem a mesma ordem da matriz original, logo vale $\det(k\cdot A^{-1})=k^n\cdot\det(A^{-1})$.
• O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original: $\det(B^{-1})=\dfrac{1}{\det(B)}$.
• O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original: $\det(B^t)=\det(B)$.

Assim, aplique a primeira, segunda e quarta propriedades

$2^5\cdot \det(A^{-1})=10x\cdot \det(A)$

Aplique a terceira propriedade e calcule a potência

$\dfrac{32}{\det(A)}=10x\cdot \det(A)$

Substitua $\det(A)=8$ e multiplique os termos

$\dfrac{32}{8}=10x\cdot 8\\\\\\ 80x = 4$

Divida ambos os lados da equação por um fator $80$ e simplifique a fração

$x=\dfrac{4}{80}\\\\\\ x =\dfrac{1}{20}~~\checkmark$.

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra c).