Question

Uma máquina produziu 40 peças, das quais 3 eram defeituosas. Ao pegar, ao acaso, 2 dessas peças, qual é a probabilidade de que: a) ambas sejam perfeitas?

Answer 1

A probabilidade de que ambas sejam perfeitas, isto é, sem defeito é:

Probabilidade da 1º peça ser perfeita vezes a probabilidade da 2º peça ser perfeita. O cálculo fica,

37/40 * 36/39 = 1332/1560 ≈ 0,8538 = 85,38%

Answer 2

Resposta com valores aproximados até a 2ª casa: a) 85,38%.

Apresentarei duas formas de resolver a questão, sendo a segunda mais intuitiva.

Resolução 01

Usando o conceito de probabilidade clássica, iremos encontrar a probabilidade dos eventos específicos a partir da divisão entre a ocorrência desses eventos (E) pelo total de eventos possíveis (P).

$\mathsf{p(E)=\dfrac{n(E)}{n(P)}}$

O total de eventos possíveis pode ser encontrado através da combinação C(40, 2), que resulta em 780.

$\mathsf{C_p^n=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}\\\\\\ \mathsf{C_2^{40}=\dfrac{40!}{2!\cdot(40-2)!}=\dfrac{40!}{2!\cdot38!}=\dfrac{40\cdot39\cdot\cancel{38!}}{2!\cdot\cancel{38!}}}\\\\\\ \mathsf{C_2^{40}=\dfrac{40\cdot39}{2}=20\cdot39=780}$

Na resolução, pense em "T" como referência ao número de possibilidade totais e "P" como peças Perfeitas.

Questão A

A quantidade de possibilidades para que ambas peças sejam perfeitas pode ser encontrada a partir da combinação C(37, 2), que resulta em 666.

$\mathsf{n(P)=C^{37}_2=\dfrac{37!}{2!\cdot(37-2)!}=\dfrac{37\cdot36\cdot\cancel{35!}}{2!\cdot\cancel{35!}}}\\\\\\ \mathsf{C^{37}_2=37\cdot18=666}$

A probabilidade será aproximadamente 85,38%.  

$\mathsf{P(P)=\dfrac{n(P)}{n(T)}=\dfrac{666}{780}=0,8538461538...}\\\\ \mathsf{P(P)\approxeq0,8538=85,38\%}$

Resolução 02

Para saber a probabilidade, usamos uma relação entre os Eventos Desejados [E(D)] e os Eventos Totais [P(T)], como demonstro na fração:

$\mathsf{\dfrac{E_{(D)}}{E_{(T)}}}$

Vamos a análise de cada caso.

Questão A

Foi-nos dado pelo enunciado que dentre 40, 3 são defeituosas. Sendo assim, a probabilidade de pegar apenas uma peça perfeita é dada por uma quantidade de eventos igual a 40 – 3 (eventos totais menos as peças defeituosas).

$\mathsf{\dfrac{40-3}{40}=\dfrac{37}{40}}$

A próxima peça a ser retirada terá uma quantidade de eventos desejados e totais subtraídos por 1, que se refere a primeira peça perfeita retirada ao acaso. Multiplicando direto, para encontrar o total, teremos:

$\mathsf{\dfrac{37}{40}\cdot\dfrac{37-1}{40-1}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{37}{40}\cdot\dfrac{36}{39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{37\cdot36}{40\cdot39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1.332}{1.560}\approx0,8538=85,38\%}$