Question

uma máquina produziu 40 peças,das quais 3 eram defeituosas.ao pegar, ao acaso,duas dessas peças,qual é a probabilidadede que

a. amabas sejam perfeitas?
b.ambas sejam defeituosas?
c.pelo ao menos uma seja defeituosa?;

Answer 1

Resposta com valores aproximados até a 2ª casa: a) 85,38%; b) 0,38%; c)  14,61%.

Apresentarei duas formas de resolver cada questão, sendo a segunda mais intuitiva.

Resolução 01

Usando o conceito de probabilidade clássica, iremos encontrar a probabilidade dos eventos específicos a partir da divisão entre a ocorrência desses eventos (E) pelo total de eventos possíveis (P).

$\mathsf{p(E)=\dfrac{n(E)}{n(P)}}$

O total de eventos possíveis pode ser encontrado através da combinação C(40, 2), que resulta em 780.

$\mathsf{C_p^n=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}\\\\\\ \mathsf{C_2^{40}=\dfrac{40!}{2!\cdot(40-2)!}=\dfrac{40!}{2!\cdot38!}=\dfrac{40\cdot39\cdot\cancel{38!}}{2!\cdot\cancel{38!}}}\\\\\\ \mathsf{C_2^{40}=\dfrac{40\cdot39}{2}=20\cdot39=780}$

Na resolução, pense em "T" como referência ao número de possibilidade totais, "D" como peças Defeituosas e "P" como peças Perfeitas.

Questão A

A quantidade de possibilidades para que ambas peças sejam perfeitas pode ser encontrada a partir da combinação C(37, 2), que resulta em 666.

$\mathsf{n(P)=C^{37}_2=\dfrac{37!}{2!\cdot(37-2)!}=\dfrac{37\cdot36\cdot\cancel{35!}}{2!\cdot\cancel{35!}}}\\\\\\ \mathsf{C^{37}_2=37\cdot18=666}$

A probabilidade será aproximadamente 85,38%.  

$\mathsf{P(P)=\dfrac{n(P)}{n(T)}=\dfrac{666}{780}=0,8538461538...}\\\\ \mathsf{P(P)\approxeq0,8538=85,38\%}$

Questão B

A quantidade de possibilidades para que ambas peças sejam defeituosas pode ser encontrada a partir da combinação C(3, 2), que resulta em 3.

$\mathsf{n(D)=C_2^3=\dfrac{3!}{2!\cdot(3-2)!}=\dfrac{3!}{2!\cdot1!}=\dfrac{6}{2}=3}$

A probabilidade será aproximadamente 0,38%.  

$\mathsf{P(D)=\dfrac{n(D)}{n(T)}=\dfrac{3}{780}=0,0038461538...}\\\\ \mathsf{P(D)\approxeq0,0038=0,38\%}$

Questão C

Essa questão pode ser melhor pensada levando em consideração eventos complementares. Eventos complementares são aqueles que quando somados equivalem a 100% do total. Em nosso caso. são eles:

• Duas peças perfeitas: p(P) - p(P∩D)
• Duas pPeças defeituosas: p(D) - p(P∩D)
• Uma peça defeituosa e 1 perfeita: p(P∩D)

Somando, teremos:

[p(P) - p(P∩D)] + [p(D) - p(P∩D)] + [p(P∩D)] = 100%

p(P) + p(D) - p(P∩D) = 100%

p(P) + p(D) - p(P∩D) = 1

Levando em consideração o que foi demonstrado acima, para encontrar a probabilidade de quando pelo menos uma peça seja defeituosa, basta retirar a probabilidade onde as duas são perfeitas (já encontrado no item A). Chamarei esse caso de X e o resultado será aproximadamente igual a 14,61%.

$\mathsf{P(X)=1-p(P)=1-0,8538461538...=0,1461538462...}\\\\ \mathsf{P(X)\approxeq14,61\%}$

Resolução 02

Para saber a probabilidade, usamos uma relação entre os Eventos Desejados [E(D)] e os Eventos Totais [P(T)], como demonstro na fração:

$\mathsf{\dfrac{E_{(D)}}{E_{(T)}}}$

Vamos a análise de cada caso.

Questão A

Foi-nos dado pelo enunciado que dentre 40, 3 são defeituosas. Sendo assim, a probabilidade de pegar apenas uma peça perfeita é dada por uma quantidade de eventos igual a 40 – 3 (eventos totais menos as peças defeituosas).

$\mathsf{\dfrac{40-3}{40}=\dfrac{37}{40}}$

A próxima peça a ser retirada terá uma quantidade de eventos desejados e totais subtraídos por 1, que se refere a primeira peça perfeita retirada ao acaso. Multiplicando direto, para encontrar o total, teremos:

$\mathsf{\dfrac{37}{40}\cdot\dfrac{37-1}{40-1}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{37}{40}\cdot\dfrac{36}{39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{37\cdot36}{40\cdot39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1.332}{1.560}\approx0,8538=85,38\%}$

Questão B

Essa resolução será semelhante a anterior. A quantidade de eventos desejados na primeira fração será 3, enquanto na outra será 3 – 1. A quantidade de eventos totais na primeira fração será 40, enquanto na outra será 40 – 1. Vamos aos cálculos, já desenvolvendo a multiplicação.

$\mathsf{\dfrac{3}{40}\cdot\dfrac{3-1}{40-1}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3}{40}\cdot\dfrac{2}{39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3\cdot2}{40\cdot39}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{6}{1.560}\approx0,003846=0,3846\%}$

Questão C

Os eventos possíveis para que pelo menos uma seja defeituosa é:

• Uma peça defeituosa e uma peça defeituosa;
• Uma peça defeituosa e uma peça perfeita;
• Uma peça perfeita e uma peça defeituosa.

Nos três casos, é possível retirar uma peça defeituosa, ao retirar 2 peças. Com isso, podemos montar as multiplicação para a probabilidade de cada caso, seguindo o mesmo padrão demonstrado acima, depois somando tudo para que tenhamos o total. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\left(\dfrac{3}{40}\cdot\dfrac{2}{39}\right)+\left(\dfrac{3}{40}\cdot\dfrac{37}{39}\right)+\left(\dfrac{37}{40}\cdot\dfrac{3}{39}\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{3\cdot2}{40\cdot39}\right)+\left(\dfrac{3\cdot37}{40\cdot39}\right)+\left(\dfrac{37\cdot3}{40\cdot39}\right)=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{6}{1.560}+\dfrac{111}{1.560}+\dfrac{111}{1.560}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{6+111+111}{1.560}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{228}{1.560}\approx0,1461=14,61\%}$

O resultado final será aproximadamente 14,61%.