Question

Uma maneira de medir a distribuição de renda entre os habitantes de um determinado país é usando o índice Gini que leva o nome do economista italiano Corrado Gini, o qual foi o primeiro a idealizá-lo em 1912.
Primeiramente todas as famílias de um país são classificadas através da renda e, então, é calculada a porcentagem de famílias cuja renda é de no máximo um percentual determinado da renda total do país. Daí define-se a curva de Lorenz y = L(x) no intervalo [0,1] marcando o ponto (a/100, b/100) sobre a curva se a% das famílias mais pobres recebe no máximo b% da renda total. Por exemplo, na Figura 1, o ponto (0,4; 0,12) está na curva de Lorenz e indica que 40% da população desse país recebem apenas 12% do total de renda. Análogo para o ponto (0,8; 0,5), ou seja, 80% da população recebem 50% do total da renda.

A Figura 2 mostra a curva de Lorenz típica para alguns países e mostra que todas elas passam pelos pontos (0,0) e (1,1) e são côncavas para cima. No caso extremo L(x) = x, a sociedade é perfeitamente igualitária.

A área entre a curva de Lorenz y = L(x) e a reta y = x mede o quanto a distribuição da renda difere da igualdade absoluta e o índice Gini representa essa área, como mostra a figura 3.


Numericamente, o índice Gini varia de zero a um (alguns apresentam de zero a cem por cento). Ele é calculado da seguinte maneira:

Tal que IL é o índice de Lorenz, calculado por meio da área sob a curva.
O valor zero representa a situação de igualdade, ou seja, todos têm a mesma renda. O valor um (ou cem por cento) está no extremo oposto, isto é, uma só pessoa detém toda a riqueza. Na prática, o Índice de Gini costuma comparar os 20% mais pobres com os 20% mais ricos.
A tabela a seguir mostra os valores da função de Lorenz para um país hipotético nos anos de 1990, 2000, 2010 e 2020.
Tabela – Função de Lorenz

Answer 1

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Lorenna, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗

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☔ Acompanhe a resolução abaixo, passo-a-passo, e guarde-a com carinho pois talvez ela te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad}}$✍

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☔ Com base na tabela apresentada, teremos 4 gráficos diferentes para serem plotados, um para cada década de nosso país hipotético (✏ pegue um papel e um lápis, vamos fazer alguns desenhos geométricos).

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☔ Nossas 4 curvas de Lorenz (uma para cada ano) serão traçadas ao colocarmos os respectivos pares ordenados de cada ano e ligarmos cada um com o seu sucessor, indo da origem (0,0) até o ponto (1,1).

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☔ O coeficiente de Gini nada mais é do que a divisão da área A de concentração (aquela área entre a reta de igualdade e a curva de Lorentz) pela soma das duas áreas A e B abaixo da reta y=x, ou seja,

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$I.G. = \dfrac{A}{A + B}$

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☔ Esta divisão nos dará a PROPORÇÃO da divisão de riqueza naquele país quando comparada a um índice de distribuição ideal. Para calcularmos a área de A+B será fácil, um grande triângulo de base 1 e altura 1:

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ A_{a+b} = \dfrac{1 \cdot 1}{2} = \dfrac{1}{2} = 0,5 }}}$

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☔ Já para calcularmos a área de A através de integração numérica faremos um cálculo que resultará na área A. Qual seria este cálculo? A área de A + B, do grande triângulo que acabamos de encontrar a área, MENOS a área de B, ou seja, A + B - B = A.

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☔ A área de B pode ser dividida em algumas formas geométricas fáceis de encontrarmos as áreas. No nosso caso teremos 6 formas geométricas, sendo que estas formas surgirão pelos segmentos de reta verticais que partem do eixo x, a cada 0,2, e vão até a Curva de Lorentz (✏ você está acompanhando com o papel e o lápis?).

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☔ Tendo feito estes segmentos de reta, veremos nossas 5 figuras: da esquerda para a direita teremos 1 triângulo e 4 trapézios. Vamos calcular a área de cada um deles.

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➡ $A_1 = \dfrac{0,2 \cdot 0,041}{2} = 0,0041$

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➡ $A_2 = \dfrac{0,041 \cdot 0,149}{2} \cdot 0,2 = 0,0006109$

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➡ $A_3 = \dfrac{0,149 \cdot 0,323}{2} \cdot 0,2 = 0,0048127$

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➡ $A_4 = \dfrac{0,323 \cdot 0,568}{2} \cdot 0,2 = 0,0183464$

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➡ $A_5 = \dfrac{0,568 \cdot 1}{2} \cdot 0,2 = 0,0568$

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☔ Temos portanto que a área de B é igual a

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$A_B = 0,0041 + 0,0006109 + 0,0048127 + 0,0183464 +0,0568$

$A_B = 0,08467$

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☔ Ou seja, a área de A será de

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$\rm\large\green{\boxed{ \ \ \ \orange{ (A+ B) - B }\ \pink{ = }\ \blue{ 0,5 - 0,08467 }\ \pink{ = }\ \blue{ 0,41533 } \ \ \ }}$ ✅

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☔ Este foi o coeficiente de Gini para a primeira década. Para calcular o coeficiente para as outras três décadas seguintes basta repetir este mesmo processo. Só a título de comparação: em 2019 este foi o índice Gini aproximado dos EUA que é considerado o país com a pior distribuição de renda dentre os países industrializados, enquanto que o Brasil teve um I.G. de 0,533, ou seja, pior ainda.

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad}}$✍

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☔ Conforme podemos observar no gráfico em anexo, como as 4 curvas de Lorenz respectivamente traçadas, podemos observar (poderíamos chegar nesta conclusão também só em comparar os dados da tabela) que a área de concentração aumentou com o passar das décadas, ou seja, a desigualdade econômica segundo este cálculo aumentou. Se separarmos nossas classes econômicas em

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➡ 0% ~ 20% = miséria

➡ 20% ~ 40% = classe baixa

➡ 40% ~ 60% = classe média

➡ 60% ~ 80% = classe alta

➡ 80% ~ 100% = ricos

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☔ Veremos que dos anos 90 aos anos 00 quem mais perdeu riqueza foi a classe média e alta, enquanto que dos anos 00 até os anos 20 a faixa de classes que perdeu riqueza aumentou, sendo da classe baixa até a classe alta. Percebemos então uma tendência nos últimos 30 anos de aumentar, em ritmo acelerado, a desigualdade econômica neste país. Algumas outras conclusões podem ser extraídas do gráfico, algumas análises paralelas com acontecimentos geo-políticos da época podem ser cruzados com os dados e hipóteses levantadas. Mas aí fica pra outro exercício, para outro dia. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}\ \red{cores}\ \blue{com}\ \pink{o}\ \orange{App}\ \green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque\ sudore\ et\ labore}$

$\large\textit{nullum\ opus\ perfectum\ est."}$