Question

Uma mãe pretende construir uma gangorra para seus dois filhos: Lucas, que tem massa 40 Kg, e Verônica, dois anos mais velha, já com 50 Kg. Para isso, a
mãe dispõe de uma tábua que mede 3,6 m. Como ela deve dispor o ponto de apoio para a gangorra ficar equilibrada com as duas crianças em seus extremos?

Desconsidere o peso da tábua e use g = 10 m/s²

Answer 1

Seja x a coordenada do ponto de apoio da gangorra

0 < x < 3,6 m.


A soma dos momentos deve se anular:

•   massa de Lucas:   $\mathsf{m_1=40~kg};$

•   distância de Lucas até o ponto de apoio:  $\mathsf{b_1=x}.$


•   massa de Verônica:   $\mathsf{m_2=50~kg};$

•   distância de Verônica até o ponto de apoio:  $\mathsf{b_2=3,\!6-x}.$

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Vamos convencionar assim.

•   momentos que tendam fazer a gangorra no sentido anti-horário são positivos;

•   momentos que tendam fazer a gangorra no sentido horário são negativos.

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Suponha que Lucas esteja à esquerda e Verônica à direita (veja figura em anexo).


•  O momento gerado por Lucas é positivo, pois tende a fazer a gangorra girar no sentido anti-horário;

•  O momento gerado por Verônica é negativo, pois tende a fazer a gangorra girar no sentido horário.


Para que a gangorra fique em equilíbrio (de rotação), devemos ter

$\mathsf{M_1+M_2=0}\\\\ \mathsf{P_1\cdot b_1-P_2\cdot b_2=0}$

sendo $\mathsf{P_1,\,P_2}$ os pesos de Lucas e Verônica, respectivamente.


Dessa forma, segue que

$\mathsf{(m_1\,g)\cdot b_1-(m_2\,g)\cdot b_2=0}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! g\cdot (m_1\cdot b_1-m_2\cdot b_2)=0}\\\\ \mathsf{m_1\cdot b_1-m_2\cdot b_2=0}\\\\ \mathsf{40\cdot x-50\cdot (3,\!6-x)=0}$

$\mathsf{40x-180+50x=0}\\\\ \mathsf{40x+50x=180}\\\\ \mathsf{90x=180}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{180}{90}}\\\\\\ \begin{array}{rcl}\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=2~m}\end{array}}&~~\longleftarrow~~&\textsf{esta \'e dist\^ancia de Lucas}\\ &&\textsf{at\'e o ponto de apoio.} \end{array}$


Para compreender melhor, veja a figura em anexo.


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Bons estudos! :-)


Tags: momento torque ponto de equilíbrio rotação distância gangorra