Question

Uma loteria sorteia quatro números distintos entre vinte números possíveis.
a) Para uma aposta em quatro números, qual é a probabilidade de acerto?
b) Se a aposta em quatro números custa R$ 2,50, quanto deveria custar uma aposta em seis números?  
Explicação por favor!!!  ​

Answer 1

a) Há 20 modos de escolher o primeiro dos 4 números apostados, há 19 para o segundo número, já que este deve ser diferente do primeiro, e assim sucessivamente. Porém veja que é o mesmo escolher os números {1, 2, 3, 4} ou {4, 3, 2 ,1}. Por isso o total de possibilidades deve ser dividido pela quantidade de modos que é possível permutar os 4 elementos escolhidos (4!). Portanto há:

$\cfrac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4!} = 4845$

apostas diferentes. Agora, veja que a sua chance corresponde a quantidade de apostas feitas dentro do total de apostas possíveis. Logo, a chance é de:

$\cfrac{1}{4845} \approx \cfrac{0,000206}{1}$

Para transformar em porcentagem, basta multiplicar por 100:

$0,000206 \cdot 100 = 0,0206\%$.

Veja que o procedimento realizado é o mesmo que uma combinação de 20 elementos tomados 4 a 4:

$C_{20,4} = \cfrac{20!}{16!4!}\\\\\\= \cfrac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{16!4!} \\\\\\= \cfrac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4!}$

b) Presumo que a questão deseja um preço que mantém proporção com a chance de vencer. Vamos supor então que você escolheu 6 números. Estes 6 números equivalem a quantas apostas de 4 números? Para isso, verei de quantos modos se podem escolher 4 elementos dentre os 6 da aposta. Logo, é uma combinação de 6 elementos tomados 4 a 4:

$C_{6,4} = \cfrac{6!}{4!2!} = \cfrac{6\cdot5\cdot4!}{4!2} = 3 \cdot 5 = 15$

Já que uma aposta de 6 números "contém" dentro dela 15 apostas de 4 números, para manter a relação de preço basta multiplicar o preço de uma aposta de 4 números por 15:

$2,50 \cdot 15 = 37,50$.

Custaria R$37,50, já que é 15x mais fácil ganhar com ela.