Question

Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,
1. a família Sousa quer ocupar o mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a
a) 928
b) 1152
c) 1828
d) 2412
e) 3456
Resposta certa: E
Eu fiz assim:

l_ _ _l  l_ _l _  _ _ _

Nos primeiros três bancos eu coloquei a família Sousa, nos dois seguintes bancos coloquei o casal, e no restante coloquei os outros passageiros.
A família faz uma permutação de 3! e o casal de 2!.
Depois considerei os grupos que iam sentar juntos (o casal e a família) como sendo 1, então ficou:

l___l l__l _  _ _ _

Então ficaram 6 opções de lugares. por isso considerei uma permutação de 6!
Por fim fiz a multiplicação final: 3! × 2! × 6! Só que o resultado ficou 8640
Alguém poderia me dizer o que fiz de errado? Realmente não estou conseguindo ver meu erro.

Answer 1

Para solucionar este problema, não dá para analisar apenas as permutações por grupo. Deve-se analisar também como esses grupos irão se posicionar nas fileiras.

Inicialmente, vamos analisar as premissas uma a uma, supondo a ordem em que entrariam na lotação e considerando que após analisados, os locais estariam ocupados:

 

A - Família Souza:

A família é composta por 3 membros que devem sentar-se lado a lado.

Para definir quantas possibilidades há para isso, deve-se calcular a permutação dos 3 membros da família:

P(n) = n!

P(3) = 3!

P(3) = 3*2*1

P(3) = 6

Como há 3 possibilidades de bancos para 3 pessoas, deve-se multiplicar o resultado obtido por 3:

A = 6*3

A = 18 possibilidades.

 

B – Casal:

O casal é composto por 2 pessoas que devem sentar-se lado a lado. Portanto, deve-se calcular a permutação dos 2 membros:

P(2) = 2!

P(2) = 2*1

P(2) = 2

Agora, há apenas duas fileiras de 3 bancos disponíveis.

Em cada fileira, há a possibilidade de o casal se sentar na ponta da direita ou da esquerda. Portanto, há 2 possibilidades para cada permutação por fileira. Como são duas fileiras:

B = 2*2*2

B = 8 possibilidades.

 

C – Demais passageiros:

Para os demais passageiros, não há nenhuma regra para posicionamento. Há 4 passageiros para ocuparem 4 lugares restantes, sem ordem definida. Portanto, deve-se calcular a permutação dos 4 membros:

C = P(4)

P(4) = 4!

P(4) = 4*3*2*1

P(4) = 24

C = 24 possibilidades.

Total de possibilidades: 

Para calcular o total de possibilidades (T), deve-se multiplicar as possibilidades de cada grupo:

T = A*B*C

T = 18*8*24

T = 3.456 possibilidades