Question

Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana a R$ 100 cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada R$10 de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades vendidas aumenta 15 por semana. Encontre a função demanda e a função receita. Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?

Answer 1

a função demanda é $x = -1,5 p + 350$

e o preço que maximiza a receita é $\rm{p} = \frac{350}{3}$

Calculo da função demanda:

A demanda é uma função linear $y=ax+b$ e pode ser interpretada como uma reta (no gráfico).

Para ser consistente na escrita, vou mudar a equação $y=ax+b$ para

$x=ap+b$ onde p é o preço e x é a quantidade de unidades vendidas

O problema nos deu dois pontos do gráfico:

P1) 100 reais ---> vende 200 unidades

P2) 90 reais ---> vende 215 unidades.

Usando a formula $x_2-x_1 = m(p_2-p_1)$ podemos encontrar a inclinação da reta.

Neste caso temos:

$p_1 = 100\,\,\, x_1 = 200\\p_2 = 90\,\,\, x_2 = 215$

$215-200 = m(90-100)\\15 = -10m\implies m = -1,5$

Agora vamos encontrar a interseção com o eixo vertical. Ou seja, encontrar o valor de $b$ (da equação $x=ap+b$)

Sabemos que a demanda é

x=200 para p = 100 reais

$200 = -1,5\cdot100+b\implies b=350$

Isto significa que quando o preço for zero, serão vendidas 350 unidades.

Com isto, encontramos a função demanda x(p):

função demanda: $x = -1,5 p + 350$

Função receita:

A receita é o preço vezes a quantidade vendida.

Receita: $R = p\cdot x$

A quantidade x varia com o preço.

Substituindo a função demanda em x:

$R = p\cdot (-1,5p+350)$

Esta função quadratica tem duas raízes

Raíz 1) preço p = 0

Raíz 2) preço p = $\frac{2}{3}\cdot350$

Portanto, o preço que causa receita máxima é:

p = $\frac{350}{3}$