Question

Uma locomotiva desloca-se com velocidade constante, e cada uma de suas rodas tem 0,5 m de raio. Um ponto P de uma das rodas top o trilho a cada 0,36 segundos . indicando por t= 0 o instante em que P toca o trilho, altura H em metros, em função do tempo T, em segundo, do ponto P em relação ao trilho pode ser determinada por

Answer 1

Utilizand oconceitos de trigonometria e funções trigonometricas, temos a nossa função da altura do ponto P: $H_P=-0,5cos(\frac{50\pi}{9}.t)+0,5$

Explicação passo-a-passo:

Então temos que este ponto P da roda esta subindo e descendo por conta do deslocamente da locomotiva.

Se ele volta ao ponto inicial a cada 0,36 segundos, então quere dizer que este é o periodo deles.

Vamos imaginar a roda deste trem como sendo o circulo trigonometrico, no circulo trigonometrico a altura é simbolizada pelo cosseno, então vamos escrever primeiramente o cosseno:

$H_P=cos(w.t)$

Porém o cosseno no circulo trigonometrico tem raio 1, e no nosso caso temos raio de 0,5, então vamos multiplicar o cosseno por isso:

$H_P=0,5cos(w.t)$

Mas note que o cosseno tem valores negativos, então basta somarmos o menor valor negativo que ele consegue assumir, assim no menor valor possivel de cosseno será quando a altura estiver em 0:

$H_P=0,5cos(w.t)+0,5$

Como queremos que em t=0 ele comece no chão, na altura 0, então vamos trocar o sinal do cosseno:

$H_P=-0,5cos(w.t)+0,5$

E por fim precisamos encontrar o que esta dentro do cosseno, onde "w" tem que ser o valor de uma volta completa de 2π radianos divido pelo periodo de uma volta, assim toda vez que t der o periodo de uma volta, ele volta a ser 0, então:

$H_P=-0,5cos(\frac{2\pi}{0,36}.t)+0,5$

Simplificando a fração:

$H_P=-0,5cos(\frac{50\pi}{9}.t)+0,5$

E assim temos a nossa função da altura do ponto P: $H_P=-0,5cos(\frac{50\pi}{9}.t)+0,5$