Question

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3.000 ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log₁₀ (3) e 1,041 como aproximação para log₁₀ (11).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ºC é mais próximo de

A) 22
B) 50
C) 100
D) 200
E) 400

Answer 1

Seja $\mathsf{T(x)}$ a função que fornece a temperatura da liga metálica (em °C) calculado em um dado instante x (em minutos), contados a partir do momento em que é retirada do forno.

x ≥ 0          (x em minutos)


•   A cada 30 minutos, a temperatura cai em 1% do que era há 30 minutos atrás.

________


•   No instante que que a liga sai do forno (x = 0), a temperatura é

T(0) = 3000


•  Após 30 minutos;

T(30) = 3000 . (1 – 0,01)

T(30) = 3000 . 0,99


•  Após 60 minutos (60 = 2 · 30);

T(60) = T(30) . (1 – 0,01)

T(2 · 30) = [ 3000 · 0,99  ] · 0,99

T(2 · 30) = 3000 · 0,99²


•  Após 90 minutos (90 = 3 · 30);

T(90) = T(60) . (1 – 0,01)

T(3 · 30) = [ 3000 · 0,99² ] . 0,99

T(3 · 30) = 3000 · 0,99³

$\vdots$


Prosseguindo com o raciocínio acima, decorridos

x = k · 30    minutos        (i)

(peguei de propósito um múltiplo de 30 para facilitar)


teremos

T(k · 30) = 3000 · 0,99ᵏ


Mas, por (i), podemos dizer que

$\mathsf{k=\dfrac{x}{30}}$


de modo que a função que modela a temperatura fica

$\mathbf{T(x)=3000\cdot (0,\!99)^{x/30}\qquad\quad x\ge 0}$

__________


A questão pede para calcular x, tal que

T(x) = 30

e expressar este valor em horas:


$\mathsf{T(x)=30}\\\\ \mathsf{3000\cdot (0,\!99)^{x/30}=30}\\\\ \mathsf{(0,\!99)^{x/30}=\dfrac{30}{3000}}\\\\\\ \mathsf{(0,\!99)^{x/30}=\dfrac{1}{100}}\\\\\\ \mathsf{(0,\!99)^{x/30}=10^{-2}}$


Tomando logaritmos em ambos os lados,

$\mathsf{\ell og\big[(0,\!99)^{x/30}\big]=\ell og(10^{-2})}\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{30}\cdot \ell og(0,\!99)=-2}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{0,99=\dfrac{99}{100}}\right)\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{30}\cdot \ell og\left(\dfrac{99}{100}\right)=-2}\\\\\\ \mathsf{x\cdot \ell og\left(\dfrac{99}{100}\right)=-2\cdot 30}$

$\mathsf{x\cdot \ell og\left(\dfrac{99}{100}\right)=-60}\\\\\\ \mathsf{x\cdot \ell og\left(\dfrac{3^2\cdot 11}{10^2}\right)=-60}\\\\\\ \mathsf{x\cdot \big[\ell og(3^2)+\ell og\,11-\ell og(10^2)\big]=-60}\\\\ \mathsf{x\cdot (2\,\ell og\,3+\ell og\,11-2)=-60}$


Usando as aproximações dadas no enunciado para os logaritmos envolvidos, obtemos

$\mathsf{x\cdot (2\cdot 0,\!477+1,\!041-2)=-60}\\\\ \mathsf{x\cdot (0,\!954+1,\!041-2)=-60}\\\\ \mathsf{x\cdot (-0,\!005)=-60}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-60}{-0,\!005}}\\\\\\ \mathsf{x=12\,000~min}\\\\ \mathsf{x=200\cdot (60~min)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=200~h} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta: alternativa D) 200.}$


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Bons estudos!


Tags: enem 2016 função exponencial logaritmo log temperatura