Question

Uma lente delgada convergente possui distância focal de 30 cm. Essa lente fornece, de um objeto,uma imagem real, invertida e de mesmo tamanho que o objeto. Determine a distância entre o objeto e a respectiva imagem. Justifique.

Answer 1

120cm é a distância entre o objeto e a imagem e eles estão localizados nos pontos antiprincipais.

A imagem abaixo ilustra o caminho ótico da luz.

Com as equações descritas na imagem, é possível deduzir a equação de Gauss para as lentes que é:

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}$

Mas o nosso interesse será provar que, se a imagem e o objeto tiverem o mesmo tamanho, então $p = p'$.

Além disso também mostramos que $p = 2f$

A partir dos triângulos $T_1$ e $T_2$, usamos as relações de  semelhança de triângulos:

$\dfrac{o}{p-f}=\dfrac{-i}{f}\implies\boxed{\dfrac{f}{p-f}=\dfrac{-i}{o}}$

A partir desta equação, podemos mostrar que se a imagem e o objeto tiverem o mesmo tamanho, então $p=2f$:

$\frac{f}{p-f}=\frac{-i}{o}$ e como a imagem é invertida e de mesmo tamanho que $o$:

$\frac{f}{p-f}=\frac{-(-o)}{o} \implies \frac{f}{p-f} = 1$

$\frac{f}{p-f} = 1 \implies f = p-f \implies p =2f$

Já na imagem de baixo ao usar a semelhança de triângulos obtemos a seguinte igualdade:

$\dfrac{o}{p}=\dfrac{-i}{p'} = \boxed{\dfrac{p'}{p}=\dfrac{-i}{o}}$

Assim podemos concluir que $p=p'$.

Juntando estes dois resultados e usando o foco $f=30cm$:

$p=p'=2f =2\cdot 30cm \implies p = p' = 60cm$

Como $p$ e $p'$  são as distâncias em relação à lente, então a distância entre o objeto e a imagem é $p+p' = 120 cm$