Uma lata de refrigerante de composição uniforme tem uma massa
de 0,140 kg e uma altura de 12,0 cm (Figura abaixo). A lata está cheia
com 1,31 kg de refrigerante. Pequenos furos são feitos na base e no topo
(com perda de massa desprezível) para drenar o refrigerante. Qual é a
altura h do centro de massa da lata e de seu conteúdo (a) inicialmente e
(b) após a lata perder todo o refrigerante? (c) O que acontece com h na
medida em que o refrigerante é drenado? (d) Se x é a altura do
refrigerante que ainda permanece na lata em um dado instante, encontre
x quando o centro de massa atinge seu ponto mais baixo.
Soluções para a tarefa
É de conhecimento público que vou chamar o centro de massa da lata(vazia) sempre será metade da sua altura que chamarei de H, porém o centro de massa do refrigerante será metade da altura do refrigerante, que é x/2 e sua massa será A.x.p área da base vezes altura vezes densidade.
Vamos aos dados/resoluções:
O centro de massa do sistema é então:
y = m.h/2 + m' . x/2 / M + m' ;
Sabemos que A.H.p=m
para x, temos:
A.x.p=m'; logo:
m'/x = m/H
m' = mx / h
Se substituirmos:
t = m.h/2 + mx/h . x/2 / M + mx/B ;
y = MH² + mx² / 2(MH + mx)
finalizando então, acharemos:
y' = 2mx (2(MH + mx) - (MH² + mx²) (2) / 4 (MH + mx)² = 0
2x(MH + mx) = MH² + mx²
mx² + 2MHx - MH = 0
Δ = 4M²H² + 4MmH²
x = -MH + H √m² + Mm/m = H/m (√M² + mm - m) =
12 / 1,31 (√0,140² + 0,140.1,31 - 0,140) = 2,84cm.
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)