Question

Uma lata cilindrica sem o topo é feita para receber 1000 cm^3 de óleo. Encontre as dimensões, raio = R e altura = h, que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Answer 1

Seja V o volume do cilindro. É dado que $V=1000~cm^3=1~dm^3$. Então, pela fórmula do volume do cilindro:

$V=\pi r^2h\\\\ 1=\pi r^2h\\\\ h=\dfrac{1}{\pi r^2}$

Consideraremos que o custo do metal da lata é proporcional à área de metal gasta na fabricação da lata. A área de um cilindro sem a tampa é dada por: $A=\pi r^2+2\pi rh$. Substituindo a relação entre $h$ e $r$ que encontramos anteriormente, encontramos a área do cilindro em função de $r$:

$A=\pi r^2+2\pi rh\\\\ A=\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{1}{\pi r^2}\\\\ A(r)=\pi r^2+\dfrac{2}{r}$

Como queremos minimizar os custos do metal, devemos encontrar a área mínima necessária para fazer o cilindro. Para isso, vamos encontrar os pontos críticos da função $A(r)$ e verificar qual deles é o ponto de mínimo. Nos pontos críticos: $\dfrac{dA}{dr}=0$. Logo:

$\dfrac{dA}{dr}=\dfrac{d}{dr}\left(\pi r^2+\dfrac{2}{r}\right)\\\\ 0=2\pi r-\dfrac{2}{r^2}\\\\ 2\pi r=\dfrac{2}{r^2}\\\\ \pi r=\dfrac{1}{r^2}\\\\ r^3=\dfrac{1}{\pi}\\\\ r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}~dm$

Assim, encontramos o único ponto crítico de $A(r)$. Para verificarmos se é um ponto de máximo ou de mínimo, vamos verificar o sinal da segunda derivada nesse ponto. Se for positiva, é um ponto de mínimo local. Se for negativa, é um ponto de máximo local:

$A(r)=\pi r^2+\dfrac{2}{r}\\\\ A'(r)=2\pi r-\dfrac{2}{r^2}\\\\ A''(r)=2\pi-(-2)\cdot\dfrac{2}{r^3}\\\\ A''(r)=2\pi+\dfrac{4}{r^3}$

Como $r\ge 0$, não precisamos nem substituir o valor de $r$ no ponto crítico para constatarmos que $A''(r)$ é positiva nesse ponto. Logo, o ponto crítico que encontramos é um ponto de mínimo local. Desse modo as dimensões que reduzem os custos do metal são:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}~dm\Longrightarrow \boxed{\boxed{r=\dfrac{1}{\pi^{\frac{1}{3}}}~dm}}\\\\\\ h=\dfrac{1}{\pi r^2}=\dfrac{1}{\pi \left(\dfrac{1}{\pi^{\frac{1}{3}}}\right)^2}=\dfrac{1}{\pi\cdot \dfrac{1}{\pi^{\frac{2}{3}}}}=\dfrac{1}{\pi\cdot \pi^{-\frac{2}{3}}}=\dfrac{1}{\pi^{\frac{1}{3}}}~dm\\\\\boxed{\boxed{h=\dfrac{1}{\pi^{\frac{1}{3}}}~dm}}$