Question

Uma lata cilindrica, fechada embaixo e aberta na parte de cima, tem altura de 17 cm e sua borda é uma circunferência de comprimento 30 cm. Na superfície interna da lata, a 4 cm da borda superior, há uma mosca parada. Na superfície externa da lata, a 1 cm da base e no mesmo plano que passa pela mosca e que divide a lata duas partes iguais, encontra-se uma aranha. A aranha anda pela superficie da lata até chegar á mosca, fazendo o caminho mais curto entre elas. Quantos centímetros a aranha anda pela superfície interna da lata ?

Answer 1

Olá,

Primeiramente, segue anexa a imagem que representa o enunciado desse problema.

Agora podemos partir para a resolução. Para isso, vamos planificar a lateral desse cilindro. Nessa planificação, obtemos um retângulo. Como o comprimento da base do cilindro é 30 cm e sua altura é 17 cm, temos que o retângulo possui comprimento 30 cm e altura 17 cm.

Como a mosca (M) e a aranha (A) estão no mesmo plano, isso divide a base da lata em duas semi circunferências de comprimento 15 cm, então, representamos isso no retângulo dividindo seu comprimento em duas partes de 15 cm.

Desprezando a espessura da lata, e considerando que a mosca (M) está a 4 cm da borda superior, podemos espelhar esse ponto fora da lata, a 4 cm da borda superior, pelo ponto Q. Junto do ponto O, formamos o triângulo AOQ. Além disso, considerando a interseção do segmento AQ, com a borda superior da lata, obtemos o ponto P. Com o ponto S, obtemos o triângulo PSQ.

A distância que a aranha percorrerá dentro da lata, até a mosca é a distância PM que é igual a distância PQ, já que os triângulos PRQ e PMR são congruentes.

Note que os triângulos AOQ e PSQ são semelhantes, dessa forma, podemos fazer a relação:

$\frac{PQ}{AQ}= \frac{QR}{QO}$

Temos que

QR = 4

QO= 17+4-1=20

AO=15

E pelo teorema de Pitágoras:

AQ²=AO²+QO²

AQ²=15²+20²

AQ²=225+400

AQ²=625

AQ=25

Substituindo esses valores na relação, segue:

$\frac{PQ}{AQ}= \frac{QR}{QO}$

$\frac{PQ}{25}= \frac{4}{20}$

$PQ= \frac{100}{20}$

$PQ= 5$

$PQ= PM=5$

Logo, a aranha percorre 5cm para chegar até a mosca.

Espero ter ajudado. Abraços,