Question

Uma lâmina tem a forma da região limitada pela parábola x = y² e a reta x = 4. Qual é a massa
dessa lâmina, sendo que a densidade em um ponto P(x, y) é diretamente proporcional à
distância de P ao eixo y?

Answer 1

Podemos dizer então que a massa dessa lâmina, sendo que a densidade em um ponto P (x,y) é M = 120k/5

Vamos aos dados/resoluções:

Podemos notar que se calcularmos a parte de cima da região, basta multiplicá-lo por 2 para obter a área total;  

Então, podemos desenvolver que :

P (x,y) = Kx = pois a distância de (x,y) ao eixo y é X, logo;

M/2 = ∫ (4,0) ∫ (√x,0) Kx Dy Dx = ∫ (4,0) Kxy | (√x,0) Dx ;  

∫ (4,0) Kx √x dx = K. ∫ (4,0) x 3/2 dx = K ∫ x^5/2 = 2/5 | (4,0) ;  

K 2/5 . 4^5/2 = 2/5k √4^5 ;  

2K/5 . √1024 ; 2/5k . 32;  

64/5 K  ;

Finalizando então, veremos que:  

M/2 = 64/5K ;

M = 120k/5

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)