Question

Uma lâmina tem a forma da região limitada pela parábola x = y² e a reta x = 4. Qual é a massa dessa lâmina, sendo que a densidade em um ponto P(x, y) é diretamente proporcional à distância de P ao eixo y?

Answer 1

Utilizando integrais duplas, temos que a massa deste objeto é de 128k/5.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de integral dupla, pois queremos a integral da densidade, que é dada por:

$D=k.x$ (Proporcionalidade k, em relação ao eixo y que é x)

Na região descrita:

$M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}D.dx.dy$

O limite de integração de x foi dado no enunciado, mas o de y é facil encontrar, pois sabemos que x vai no maximo até 4 pelos limites, então:

$x=y^2$

$4=y^2$

$y=\pm\sqrt{4}$

$y=\pm 2$

$-2<y<2$

E com isso podemos fazer a nossa integral:

$M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}D.dx.dy$

$M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}kx.dx.dy$

$M=\int_{-2}^{2}[\frac{k}{2}x^2]_{y^2}^{4}.dy$

$M=\int_{-2}^{2}[8k-\frac{k}{2}y^4].dy$

Integrando em y agora:

$M=\int_{-2}^{2}[8k-\frac{k}{2}y^4].dy$

$M=[8ky-\frac{k}{10}y^5]_{-2}^{2}$

$M=[16k+16k-\frac{k}{10}(2)^5-\frac{k}{10}(2)^5]$

$M=[32k-\frac{64k}{10}]$

$M=[32k-\frac{32k}{5}]$

$M=[\frac{160k}{5}-\frac{32k}{5}]$

$M=\frac{160k-32k}{5}$

$M=\frac{128k}{5}$

Assim temos que a massa deste objeto é de 128k/5.