Matemática, perguntado por mmvaz, 1 ano atrás

Uma lâmina tem a forma da região limitada pela parábola x = y² e a reta x = 4. Qual é a massa dessa lâmina, sendo que a densidade em um ponto P(x, y) é diretamente proporcional à distância de P ao eixo y?

a) k/5
b) 87/49
c) 329/5k
d) 8k
e) 128k/5

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Utilizando integrais duplas, temos que a massa deste objeto é de 128k/5.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de integral dupla, posi queremos a integral da densidade, que é dada por:

D=k.x (Proporcionalidade k, em relaçã oao eixo y que é x)

Na região descrita:

M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}D.dx.dy

O limite de integração de x foi dado no enunciado, mas o de y é facil encontrar, pois sabemos que x vai no maximo até 4 pelos limites, então:

x=y^2

4=y^2

y=\pm\sqrt{4}

y=\pm 2

-2<y<2

E com isso podemos fazer a nossa integral:

M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}D.dx.dy

M=\int_{-2}^{2}\int_{y^2}^{4}kx.dx.dy

M=\int_{-2}^{2}[\frac{k}{2}x^2]_{y^2}^{4}.dy

M=\int_{-2}^{2}[8k-\frac{k}{2}y^4].dy

Integrando em y agora:

M=\int_{-2}^{2}[8k-\frac{k}{2}y^4].dy

M=[8ky-\frac{k}{10}y^5]_{-2}^{2}

M=[16k+16k-\frac{k}{10}(2)^5-\frac{k}{10}(2)^5]

M=[32k-\frac{64k}{10}]

M=[32k-\frac{32k}{5}]

M=[\frac{160k}{5}-\frac{32k}{5}]

M=\frac{160k-32k}{5}

M=\frac{128k}{5}

Assim temos que a massa deste objeto é de 128k/5.

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