Question

Uma jogadora de futebol chuta uma bola localizada no ponto A(0;0) (escala em metros).




Essa bola descreve uma trajetória parabólica, passando pelo ponto B(38;0,95 ) e caindo no ponto C(40;0).
Determine: H = altura máxima atingida pela bola.

Answer 1

Boa tarde!

Se é uma parábola, significa dizer que é uma função do segundo grau. A forma da equação do 2º grau é:
y = ax² + bx + c

Considerando o ponto B, temos:
0,95 = 38².a + 38b + c
0,95 = 1444a + 38b + c
Logo:
c = - 1444a - 38b + 0,95

Considerando o ponto C:
0 = 40².a + 40 b + c
0 = 1600a + 40b + c
Logo:
c = - 1600a - 40b 

Igualando os 2 valores de c:

-1444a - 38b + 0,95 = - 1600 a - 40b
- 1600a + 1444a - 40b + 38b = 0,95
- 156a - 2b = 0,95 (equação 1)

Ressalta-se que os zeros, isto é, as soluções da equação definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x. É dito no problema que a parábola intercepta o eixo x em 2 momentos: no ponto A (0,0) e no ponto C(40,0). Logo, podemos concluir que 0 e 40 são as soluções desta equação (os valores de x da equação).
A equação para se definir os valores de x são:
x' = - b + √Δ/2a e x" = - b - √Δ/2a

Somando-se estas duas soluções fica:
40 + 0 = -b + √Δ/2a + (-b - √Δ/2a)
40 = - b + √Δ/2a - b - √Δ/2a
40 = - 2b/2a → simplificando o 2 do numerador e denominador:
40 = - b/a
- b = 40a
b = - 40a

Substituindo este valor de b na equação 1:
- 156a - 2.(-40a) = 0,95
- 156a + 80a = 0,95
- 76a = 0,95
a = 0,95/-76
a = - 0,0125

Achando o valor de b:
b = - 40.(-0,0125)
b = 0,5

Para achar o valor de c:
c = - 1600a - 40b
c = - 1600.(-0,0125) - 40.0,5
c = 20 - 20
c = 0

Logo, a equação desta função é:
y = -0,0125x² + 0,5x

O valor de H será o valor do y do vértice da parábola. A fórmula do y do vértice é:
y = -Δ/4a

A fórmula de delta é:
Δ = b² - 4.a.c

O delta será:
Δ = 0,5² - 4.(-0,0125).0
Δ = 0,25

Assim:
y = - 0,25/4.(-0,0125)
y = - 0,25/- 0,05
y = 5

Logo, a altura máxima atingida pela bola será de 5 unidades de comprimento.