Question

Uma invenção que significou um grande avanço tecnológico na Antiguidade, a polia composta ou a associação de polias, é atribuída a Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.). O aparato consiste em associar uma série de polias móveis a uma polia fixa. A figura exemplifica um arranjo possível para esse aparato. É relatado que Arquimedes teria demonstrado para o rei Hierão um outro arranjo desse aparato, movendo sozinho, sobre a areia da praia, um navio repleto de passageiros e cargas, algo que seria impossível sem a participação de muitos homens. Suponha que a massa do navio era de 2.000 kg, que o coeficiente de atrito estático entre o navio e a areia era de proporciona uma força de atrito igual a 1.6.000N Suponha que Arquimedes tenha puxado o navio com uma força F com seta para a direita sobrescrito , paralela à direção do movimento e de módulo igual a 500 N. Considere os fios e as polias ideais, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e que a superfície da praia é perfeitamente horizontal. Determine o número mínimo de polias para que ele consiga puxar o navio. ​

Answer 1

         Primeiro vamos dispor os dados que temos para facilitar a organização:

Força de Atrito (Fat): 16000 Newtons

Massa (m): 2000 Kg

Aceleração da gravidade (g): 10 $m/s^{2}$

Força Peso (P): $P = m.g$ ⇒ $P=2000.10$ ⇒ $P = 20000$ Newtons

         Para que o navio se mova, a força de tração (T) exercida pela corda sobre o navio tem que ser maior que a força de atrito (Fat) que segura esse navio na superfície. Sendo assim: T > 16000 Newtons.

         Quando nós trabalhamos com polias móveis, nós entendemos que em cada polia, a força de tração é dividida por 2. Nós sabemos que a força de tração exercida no fio da última polia é de 500 Newtons, sendo assim, basta, a cada polia, multiplicar a tração por 2 até chegar na polia que tem seu fio diretamente ligado ao navio.

Após 1 polia a força T será de 500 . 2 = 1000 Newtons

Após 2 polias a força T será de 2000 Newtons

Após 3 polias a força T será de 4000 Newtons

Após 4 polias a força T será de 8000 Newtons

Após 5 polias a força T será de 16000 Newtons

OBS: Note que após 5 polias, a força de tração é igual à força de atrito, isto é T = Fat. Deste modo, o navio ainda não se moveu, mas está na iminência de se mover.

Após 6 polia a força T será de 32000 Newtons.

         Portanto, o número mínimo de polias necessárias é 6, visto que só assim teremos T > Fat, isto é, 32000 Newtons > 16000 Newtons.

OBS: Foi nos dada informações que não utilizámos, como a da gravidade e da massa. Essas provavemente seriam utilizadas, junto com a coeficiente de atrito, para calcular a Fat. Entretanto, ao invés do enunciado nos fornecer o coeficiente de atrito, ele nos forneceu diretamente o valor de Fat, portanto, não foi necessário se trabalhar com estes outros valores. Isso provavelmente ocorreu por ser uma questão adaptada.

_________________________________________________

         Uma forma mais simples de resolver caso você tenha um bom conhecimento sobre polias é utilizar a fórmula:

$F = \frac{P}{2^{n} }$

         Nesta fórmula, F é a força que será utilizada para puxar o navio, P é o peso do navio e n é o número mínimo de polias. Entretanto, como este navio está sendo puxado na horizontal, o P não nos importa e sim o Fat, logo, ficaríamos com:

$F = \frac{Fat}{2^{n} }$

         Sendo F = 500 Newtons e Fat = 16000 Newtons, temos que:

$500 = \frac{16000}{2^{n} }$ ⇒ $2^{n} = 32$ ⇒ $2^{n} = 2^{5}$ ⇒ $n = 5 polias$

         Entretanto, 5 polias são necessárias para levantar 16000 Newtons, como T tem que ser qualquer valor maior que 16000 (como 16001, por exemplo), basta contarmos uma polia a mais, logo, 6 polias.