Question

Uma industria têxtil vende diariamente 800m² de certo tipo de brim ao preço de R$ 10,00 por metro quadrado.
Uma pesquisa de mercado revelou que, para cada desconto de R$ 0,04 por metro quadrado desse brim, haveria um acréscimo diário de 5m² nas vendas. Levando em consideração essa pesquisa, o departamento de vendas da industria estabeleceu o preço por metro quadrado desse brim para que a receita diária arrecadada com sua venda fosse máxima.
A) qual foi o preço estabelecido por metro quadrado desse brim?
B) Qual será a receita diária apurada com a venda desse brim para o preço estabelecido?

Answer 1

Utilizando formulações e definições de função do segundo grau, temos que:

a) R$ 1,80.

b) R$ 16.405,00.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que a cada 0,04 de desconto eles aumentam as vendas em 4 m². Vamos então montar as equação do quando que eles vendem normalmente:

$V=800+5x$

Nesta equação x é o número de descontos que eles deram no preço. Agora a equação do preço do produto:

$P=10-0,04x$

Da mesma forma, x é o número de descontos que eles deram.

E temos que a nossa receta, ou seja, quantos eles ganham é definido pelo quanto eles ganharam, vezes quanto eles venderam, então:

$R=V.P$

$R=(800+5x).(10-0,04x)$

$R=-0,2x^2+82x+8000$

Então note que nossa receita é uma função do segundo grau negativa, ou seja, ela forma uma parabola voltada para baixo, e parabolas para baixo tem pontos maximo, que é onde as vendas foram maximas, assim precisamos descobrir este pontos maximo, que é o x do vertice:

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$x_v=\frac{-82}{2.(-0,2)}$

$x_v=\frac{-82}{-0,4}$

$x_v=205$

Então temos que esta receita foi maxima quando x foi 205, ou seja, quando eles deram 205 descontos de 0,04 reais, que é o mesmo que R$8,20 de desconto.

A) Se para alcançar a receita maxima eles deram desconto de 8,20, então no final ficamos com 10 - 8,20 = 1,80. Cada metro quadrado ficou por R$ 1,80.

B) Basta pergarmos a nossa função receita e substituir o x = 205 que encontramos anteriormente:

$R=-0,2x^2+82x+8000$

$R=-0,2(205)^2+82.205+8000$

$R=-0,2.42025+16810+8000$

$R=-8405+16810+8000$

$R=16405$

Assim temos que a receita diaria deste lugar é de R$ 16.405,00.