Question

Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia?
R: A empresa deverá produzir e vender a quantidade de 40 produtos.

Como chegar a este resultado?

Answer 1

Olá.

Temos, então, um valor de venda (chamaremos de v) que é igual a quantidade de unidades (x) multiplicado por 100. Teremos:
$\mathsf{v=100\cdot x}$

Além do preço de venda, teremos o preço que é gasto para produzir (chamaremos de p), que é equivalente a equação x² + 20x + 700.

Agora, temos de obter o lucro (chamaremos de L). O lucro sempre será o valor obtido na venda menos o valor da produção. Assim:
$\boxed{\mathsf{L=v-p}}$

Ao substituir encontraremos a equação que representa o lucro:

$\mathsf{L=v-p}\\\\ \mathsf{L=100\cdot x-(x^2+20x+700)}\\\\ \mathsf{L=100x-x^2-20x-700}\\\\ \mathsf{L=-x^2-20x+100x-700}\\\\ \boxed{\mathsf{L=-x^2+80x-700}}$

Sabendo que o lucro é dado por aquela equação acima obtida, para saber a quantidade x (produtos) a serem vendidos para obter R$900, basta igualar e resolver.
$\mathsf{L=-x^2+80x-700=900}\\\\ \mathsf{L=-x^2+80x-700-900=0}\\\\ \mathsf{L=-x^2+80x-1.600=0}$

Tendo obtido uma equação de 2° grau, -x² + 80x - 1.600 = 0, usaremos a forma ax² + bx + c = 0 para conseguir os coeficientes.
$\left\{\begin{array}{llc}\mathsf{a}&=&-1\\\mathsf{b}&=&80\\\mathsf{c}&=&-1.600\end{array}$

Agora, resolveremos usando Bháskara:
$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80\pm\sqrt{80^2-4\cdot(-1)\cdot(-1.600)}}{2\cdot(-1)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80\pm\sqrt{6.400-4\cdot(1.600)}}{-2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80\pm\sqrt{6.400-6.400}}{-2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80\pm\sqrt{0}}{-2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80\pm0}{-2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-80}{-2}}\\\\\\ \Large\boxed{\mathsf{x=40}}$

Testado e aprovado.

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Bons estudos.