Question

Uma indústria de refrigerantes tem sua produção diária P, em garrafas, variando com o número n de operadores em serviço, de acordo com a função P(n)=n^2+50n+20.000. Calcule a) a produção se o número de operadores for 40. b) o número de operadores necessário para produzir 25.400 garrafas de refrigerantes.

Answer 1

$P(n)=n^2+50n+20\,000$


a) Queremos calcular o valor de $P$ quando $n=40:$

$P(40)=40^2+50\cdot 40+20\,000\\\\ P(40)=1\,600+2\,000+20\,000\\\\ \boxed{\begin{array}{c}P(40)=23\,600 \end{array}}$


Se tiverem em serviço 40 operadores, então serão produzidos 23600 garrafas de refrigerante.

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Para que o número de operadores seja necessário para produzir 25400 garrafas (pelo menos), devemos ter

$P(n)\ge 25\,400\\\\ n^2+50n+20\,000\ge 25\,400\\\\ n^2+50n+20\,000-25\,400\ge 0\\\\ n^2+50n-5\,400\ge 0~~~\Rightarrow~~\left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=50\\c=-5\,400 \end{array} \right.~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=50^2-4\cdot 1\codt (-5\,400)\\\\ \Delta=2\,500+21\,600\\\\ \Delta=24100=10^2\cdot 241$


Encontrando as raízes do lado esquerdo da desigualdade $\mathbf{(i)}:$

$n=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ n=\dfrac{-50\pm \sqrt{10^2\cdot 241}}{2\cdot 1}\\\\\\ n=\dfrac{-50\pm 10\sqrt{241}}{2}\\\\\\ n=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot \big(-25\pm 5\sqrt{241}\big)}{\diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ n=-25\pm 5\sqrt{241}$


$\begin{array}{rcl} n_1=-25-5\sqrt{241}&~\text{ e }~&n_2=-25+5\sqrt{241} \end{array}$


Como queremos que o lado esquerdo de $\mathbf{(i)}$ seja maior ou igual a zero, devemos ter

$\begin{array}{rcl} n\le n_1&~\text{ ou }~&n\ge n_2\\\\ n\le -25-5\sqrt{241}&~\text{ ou }~&n\ge -25+5\sqrt{241} \end{array}$


Mas $n$ é natural, então desprezamos a porção negativa, e ficamos com

$n\ge -25+5\sqrt{241}~~~~~~\mathbf{(ii)}$

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Sabemos que

$5\,929<6\,025<6\,084\\\\ 77^2<25\cdot 241<78^2\\\\ 77^2<5^2\cdot 241<78^2\\\\ 77<5\sqrt{241}<78\\\\ -25+77<-25+5\sqrt{241}<-25+78\\\\ 52<-25+5\sqrt{241}<53~~~~~~\mathbf{(iii)}$

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Por $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ concluímos que

$\boxed{\begin{array}{c}n\ge 53 \end{array}}~~~~~~\text{onde }n\in \mathbb{N}$


Com 53 operários, garantimos que serão produzidos 25400 garrafas de refrigerantes (pelo menos).


Bons estudos! :-)