Uma indústria comercializa um certo produto e tem função custo total em mil reais, dada por CT(q) = q 2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por R(q) = 120q .
a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades
b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo ?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá bom dia!
O lucro (L) é dado pela diferença entre a receita (R) e o custo total (CT). Ou seja:
L = R - CT
Então a função do lucro em relação a quantidade é determinada por:
L(q) = R(q) - CT(q)
Como:
R(q) = 120q
CT(q) = q² + 20q + 475
Então:
L(q) = 120q - (q² + 20q + 475)
L(q) = -q² + 120q - 20q - 475
L(q) = -q² + 100q - 475
A função que relaciona lucro e quantidade é:
L(q) = -q² + 100q - 475
a)
q = 80
L(80) = -(80)² + 100(80) - 475
L(80) = -6400 + 8000 - 475
L(80) = 1125
O lucro pra 80 unidades é 1.125 reais
b)
O lucro máximo é o valor da ordenada do vértice da função L(q).
L(q)máx = -Δ/4a
A quantidade para o lucro máximo é a abscissa do vértice:
q(máx) = -b/2a
Logo:
a = -1 ; b = 100 ; c = -475
q(máx) = -100/(2 * -1)
q(máx) = -100/(-2)
q(máx) = 50
O lucro máximo acontecerá na comercialização de 50 quantidades.