Question

Uma indústria alimentícia embala produtos com um volume de 1000cm3 em embalagens cilíndricas. O departamento de inovação de produtos está analisando as melhores dimensões para construir a embalagem sendo utilizado como material o alumínio. Estime a altura da embalagem cilíndrica e seu raio, para que esta apresente a menor área superficial. Se o custo da embalagem for de R$48,50/m2, estime o custo por embalagem considerando que ela terá fundo e tampa fechadas do mesmo material. Anexe os cálculos realizados.

Answer 1

Olá!

O volume de um cilindro é dado por:

$V = \pi r^{2}.h$

Como o volume do cilindro em questão é de 1.000 cm³, podemos escrever que:

$1.000 = \pi r^{2}.h$

$h = \frac{1.000}{\pi r^{2}}$           (Equação 01)

Já a área total da embalagem cilíndrica é dada pela área da base e tampa mais a área do corpo:

$A = 2.(\pi r^{2}) + 2\pi r.h$

Substituindo nela a Equação 01, teremos:

$A = 2\pi r^{2} + 2\pi r.\frac{1.000}{\pi r^{2}}$

$A = 2\pi r^{2} + \frac{2.000}{r}$

Para encontrarmos o minimo da função Área, devemos derivar a função e iguala-la a zero:

$A' = 4\pi r - \frac{2.000}{r^{2}} = 0$

$r^{3} = \frac{2.000}{4\pi} = 0$     (Usando π = 3,14)

$r = \sqrt[3]{159,24}$ = 5,42 cm

Assim, a área será minima quando r = 5,42 cm. Logo, substituindo na função Área, teremos:

$A = 2\pi (5,42^{2}) + \frac{2.000}{5,42}$

A = 553,50 cm²

Como 1 m² = 10000 cm², teremos que 553,50 cm² = 0,0553 m². Logo, o preço da embalagem será de:

0,0553 x 48,50 = R$ 2,68.

Espero ter ajudado!