Question

Uma indústria alimentícia embala produtos com um volume de 1000cm3 em embalagens cilíndricas. O departamento de inovação de produtos está analisando as melhores dimensões para construir a embalagem sendo utilizado como material o alumínio.
Estime a altura da embalagem cilíndrica e seu raio, para que esta apresente a menor área superficial. Se o custo da embalagem for de R$48,50/m2, estime o custo por embalagem considerando que ela terá fundo e tampa fechadas do mesmo material.

Anexe os cálculos realizados.

Answer 1

Volume  = r² * pi * h = 1000 ==>h=1000/r²pi

Área =2*pi*r * h +2* r² pi

Área = 2 *pi * r * 1000/(r² * pi) + 2* r² pi

Área = 2000/r + 2* r² pi

d(Área)/dr =- 2000/r² + 4*r pi  

*******************************************

verificando se é mínima

d²(Área)dr² = 4000 /r^3 +4pi > 0 , área mínima

*******************************************

- 2000/r² + 4*r pi = 0

- 2000/r² = - 4*r pi

- 2000/r² + 4*r pi = 0

r³=2000/(4pi)

r³=500/pi

==> r ~ 5,42021cm    ==>vou usar   r ~ 6 cm  e pi =3,14

Área = 2000/r + 2* r² pi

Área = 2000 /6 + 2 *6²*3,14 ~ 560 cm²

=560 (0,01m)² = 0,056 m²

Custo por embalagem 48,50 * 0,056

= R$ 2,72