Question

uma idustria produz bonecas . O custo diario C, em dolare ,para produzir n boneca e dado pela expressão quadratica C=2n^-240n+8400.quantas boneca devem ser produzidas diariamente para o custo ser minimo ?Qual e o custo minimo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fabricio, que a resolução é simples.
O custo diário, em dólares, é dado por:

C(x) = 2n² - 240n + 8.400.

Pede-se a quantidade (n) de bonecas para que o custo seja mínimo e pede-se também o valor desse custo mínimo.

Veja: numa equação quadrática da forma f(x) = ax² + bx + c, o vértice (xv; yv) do gráfico (parábola) é que vai dar a quantidade e o valor mínimo (ou máximo).
Note que tanto a abscissa do vértice (xv) como a ordenada do vértice (yv) têm fórmulas próprias, que são estas:

xv = - b/2a

No caso da sua questão, que é C(x) = 2n² - 240n + 8.400 tem-se que os coeficientes são estes: a = 2 (que é o coeficiente de n²); b = - 240 (que é o coeficiente de "n"); e c = 8.400 (que é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do "xv" acima, teremos:

xv = -(-240)/2*2
xv = 240/4
xv = 60 bonecas <--- Este será o número mínimo de bonecas que dará o custo mínimo.

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- fazendo-se as devidas substituições, teremos (vide coeficientes acima):

yv = - ((-240)² - 4*2*8.400)/4*2
yv = - (57.600 - 67.200)/8
yv = - (- 9.600)/8 --- ou, apenas (retirando-se os parênteses):
yv = 9.600/8
yv = 1.200 dólares <--- Este é o valor do custo mínimo.

Observação: se você quisesse, também poderia, em vez de aplicar a fórmula do "yv" que acabamos de aplicar acima, substituir o "x' pelo "xv" (60) na expressão que dá o custo de fabricação e também encontraria o valor para o custo mínimo (US$ 1.200). Veja que a equação do custo é esta:

C(x) = 2n² - 240n + 8.400 ---- substituindo-se "n" por "60", teremos:
C(60) = 2*60² - 240*60 + 8.400
C(60) = 2*3.600 - 14.400 + 8.400
C(60) = 7.200 + 14.400 + 8.400 ----- note que esta soma algébrica dá "1.200". Logo:

C(60) = 1.200 dólares <--- Veja que a resposta é a mesma.

Assim, resumindo, teremos que a quantidade mínima diária de bonecas e o correspondente custo mínimo diário será de, respectivamente:

60 bonecas e US$ 1.200 <--- Pronto. Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.