Question

Uma hipérbole tem eixo focal sobre a reta 3x -4y = 0, um dos focos é
F(8; 6) e sabe-se que a = 5 e c = 10. Qual sua equação geral?

Answer 1

A equação de uma hipérbole é do tipo :

$\displaystyle \frac{\text x^2}{\text a^2}-\frac{\text y^2}{\text b^2 }=1$

Temos :

$\text a = 5 \ \ \text e \ \ \text c = 10$

relação fundamental :

$\text c^2=\text a^2+\text b^2 \\\\ 100 = 25 + \text b^2 \\\\ \underline{\text b^2 = 75 }$

Então temos :

$\displaystyle \frac{\text x^2}{25}-\frac{\text y^2}{75 }=1$

A questão diz que o eixo focal está sobre a reta 3x-4y=0 e um dos focos é

F(8,6)

Com isso, conseguimos ver que a hipérbole está rotacionada. Então vamos ter que usar a matriz de rotação para determinar as novas coordenadas de x e y.

Matriz de Rotação :

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}\text {x ' }\\ \text {y '} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\text{cos}(\theta )&\text{sen}(\theta)\\-\text{sen}(\theta)&\text{cos}(\theta)\end{array}\right] .\left[\begin{array}{c}\text x\\ \text y \end{array}\right]$

portanto :

$\text{x '} = \text{x.cos}(\theta)+\text{y.sen}(\theta) \\\\ \text{y '} = -\text{y.sen}(\theta) + \text {x.cos}(\theta)$

para saber o ângulo vamos achar a inclinação da reta usando as coordenadas do Foco(8,6)

$\displaystyle \text{tg}(\theta) = \frac{6}{8} \to \text {tg}(\theta) = \frac{3}{4}$

Sabemos que isso acontece no triângulo 3,4,5 ou podemos simplesmente usar a relação fundamental da trigonometria para achar o seno e cosseno do ângulo.

Assim concluímos que :

$\displaystyle \text{sen}(\theta) =\frac{3}{5} \ \ ;\ \ \text{cos}(\theta)=\frac{4}{5}$

substituindo nas coordenadas obtidas pela matriz de rotação :

$\displaystyle \text{x '} = \frac{4\text x+3\text y }{5} \\\\ \text{y '} = \frac{4\text y-3\text x }{5}$

Substituindo na equação da hipérbole :

$\displaystyle \frac{\displaystyle (\frac{4\text x+3\text y }{5})^2}{25}-\frac{\displaystyle(\frac{4\text y-3\text x }{5} )^2 }{75 }=1 \\\\\\ \frac{(4\text x+3\text y)^2}{25.25}-\frac{(4\text y-3\text x)^2}{25.75}=1 \\\\\\ \frac{3.(4\text x+3\text y)^2 }{3.625}-\frac{(4\text y-3\text x)^2}{1875} \\\\\\ 3.(4\text x+3\text y)^2 -(4\text y-3\text x)^2=1875 \\\\\\ 48\text x^2+72\text{xy}+27\text y^2-16\text y^2+24\text {xy}-9\text x^2 = 1875$

Portanto a equação da hipérbole é :

$\huge\boxed{39\text x^2+96\text{xy}+18\text y^2-1875=0}\checkmark$