Question

Uma função tem derivada de segunda ordem f''(x)=6x-6. Encontre a expressão da f, sabendo que seu gráfico contém o ponto (2,1) e que em tal ponto a reta tangente tem equação 3x-y-5=0

Answer 1

$\displaystyle \sf f''(x) = 6x-6 \\\\ \underline{\text{integrando dos dois lados}}: \\\\ f'(x) = \frac{6x^2}{2}-6x+C_1 \\\\ f'(x) = 3x ^2-6x+C_1$

Sabendo que f'(x) = m (coeficiente angular da reta tangente), vamos usar essa informação.

Reta tangente no ponto (2,1) :

$\sf 3x-y-5 = 0\to y = 3x-5 \to \boxed{\text m = 3 } \\\\ \text{Da{\'i}}: \\\\ f'(2) = 3 \\\\ 3 = 3.2^2-6.2+C_1 \\\\ C_1 = 3 \\\\ \underline{{Ent{\~a}o}}: \\\\ \text f'(x) = 3x^2-6x+3$

integrando dos dois lados :

$\displaystyle \sf f(x) = \frac{3x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+3x + C_2 \\\\ f(x) = x^3-3x^2+3x+ C_2 \\\\ \underline{Substituindo \ o \ ponto \ (2,1) }:\\\\ 1 = 2^3-3.2^2+3.2+C_2 \\\\ C_2 = 1-8+12-6 \to C_2 = -1 \\\\ \underline{\text{Portanto}}: \\\\ \huge\boxed{\text{f(x)} = \text x^3-3\text x^2+3\text x-1 }\checkmark$