Question

Uma função quadrática Q(x) = ax² + bx + c assume valores negativos somente para – 1 < x < 2. Dado Q(3) = 10, a ordenada do ponto onde o gráfico da função em um plano cartesiano cruza o eixo y é:

Answer 1

Quando x for zero, a parábola passará por y no ponto -5.

Esta é uma questão sobre equações de segundo grau e representações no plano cartesiano. Uma equação de segundo grau é representada no plano cartesiano por uma parábola. Encontramos o desenho substituindo os pontos cartesianos na equação dada.

Os pontos cartesianos são formados por um número em "x" chamado de abscissa e outro em "y" chamado de ordenada.

Quando o enunciado nos diz que Q(3) = 10 sabemos que o ponto no eixo cartesiano é (3,10): 3 para x e 10 para y. Isso porque Q(x) é igual a y, uma vez que y está em função de x.

Ainda, podemos afirmar que para a parábola cruzar o eixo y é preciso que x seja zero, assim:

$Q(0) = a.0^2 + b.0 + c\\\\Q(0) = c\\\\y=c$

Utilizando a informação dada pelo enunciado, temos que:

$Q(3) =10\\\\a.3^2 + b.3 + c = 10\\\\9a +3b +c = 10$

Outra igualdade que podemos formar é:

$0 = ax^2 +bx+c\\\\0 = a.(-1)^2+b(-1)+c\\\\0 = a-b+c$

e

$0 = ax^2 +bx+c\\\\0 = a.(2)^2+b(2)+c\\\\0 = 4a+2b+c$

então temos três equações que podem ser resolvida por escalonamento:

$4a+2b+c=0\\\\a-b+c=0\\\\9a+3b+c=10$

multiplicando a segunda equação por (-4) e somando com a primeira equação temos:

$4a +2b +c=0\\\\-4a+4b-4c=0\\\\6b-3c=0\\\\2b-c=0$

multiplicando a segunda equação por (-9) e somando com a terceira equação temos:

$-9a+9b-9c=0\\\\9a+3b+c=10\\\\12b-8c=10\\\\6b-4c=5$

Assim, substituindo as equações que encontramos temos:

$c=2b\\\\6b-4(2b)=5\\\\6b-8b=5\\\\-2b =5\\\\b = -2,5$

então:

$c=2b\\\\c= -5$

Assim, quando x for zero, a parábola passará por y no ponto -5.