Question

Uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que em uma função quadrática temos f(0) = 2, f(1) = –1 e f(2) = 0, determine o valor de a2 – 3b + 4c.

Answer 1

Resposta: 27

Explicação passo-a-passo:

No caso, a gente têm uma determinada função quadrática da forma:$f(x) = ax^{2} + bx + c$. Em que f(0) = 2, f(1) = - 1 e f(2) = 0. Dessa forma é possível montar as seguintes expressões:

$f(x) = a.x^{2} + b.x + c\\\\f(0) = a.(0)^{2} + b.(0) + c\\\\f(0) = c\\\\f(1) = a.(1)^{2} + b.(1) + c\\\\f(1) = a + b + c\\\\f(2) = a.(2)^{2} \:+b.(2) + c\\\\f(2) = 4.a + 2.b + c$

Acima apenas tentei encontrar o valor da f(0), f(1) e a f(2). Nesse "joguinho" de tentar encontra-las mesmo já tendo os valores dessas f que são 2, - 1 e 0, respectivamente, e não tendo os valores de algumas constantes como o a, b e c, eu já pude perceber que: $f(0) = c$. Porém, $f(0) = 2$, logo $c = 2$. A $f(1) = - 1$, $f(2) = 0$ e $c = 2$, vamos utilizar agora a f(1) e a f(2) para encontrar as outras constantes a e b.

$f(1) = a+b+c\\\\f(1) = -\:1\:e\:c = 2\\\\-1 = a+b+2\\\\a+b = -\:3\\\\\\f(2) = 4.a + 2.b + c\\\\f(2) = 0\:e\:c = 2\\\\0 = 4.a + 2.b + 2\\\\4.a + 2.b = -\:2$

Por f(1) e f(2), chegamos nas seguintes expressões: $a + b = -\:3\:e\:4.a + 2.b = -\:2$. Com isso dar para montar o seguinte sistema.

$\left \{ {{a + b\:=\:-\:3} \atop {4.a + 2.b\:=\:-\:2}} \right.$

Resolvendo o sistema:

$a + b = -\:3\\\\b =-\:3 - a\\\\4.a + 2.(-\:3 - a) = -\:2\\\\4.a - 6 - 2.a = -\:2\\\\2.a = 4\\\\a = 2\\\\b = -\:3 - a\\\\b = -\:3 - 2\\\\b = -\:5$

Pronto! Encontramos o $a = 2, b = -\:5\:e\:c = 2$. Logo só falta calcular $a^{2} - 3.b + 4.c$. Faremos isso a baixo.

$2^{2} - 3.(-\:5) + 4.(2) = \\\\4 + 15 + 8 = \\\\27$

Espero ter ajudado!