Question

uma função f(x) é tal que f(a-b)=f(a)/f(b). sabendo que f(1)=4, determine o valor de f(-1).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{1/4}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado, $\displaystyle \mathtt{f(a - b) = \frac{f(a)}{f(b)}}$.

Ademais, temos que $\displaystyle \mathtt{f(1) = 4}$. Ora, se fizermos $\displaystyle \mathtt{a - b = 1}$, então $\displaystyle \mathtt{a = 1 + b}$.

Isto posto, segue que:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(a - b) = \frac{f(a)}{f(b)}} \\\\ \mathsf{f(a) = f(b) \cdot f(a - b)} \\\\ \mathsf{f(1 + b) = f(b) \cdot f(1)} \\\\ \mathsf{f(1 + b) = 4 \cdot f(b)}$

Se fizermos $\displaystyle \mathtt{b = 0}$, então encontraremos o valor de $\displaystyle \mathtt{f(0)}$. Segue:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(1 + b) = 4 \cdot f(b)} \\\\ \mathsf{f(1 + 0) = 4 \cdot f(0)} \\\\ \mathsf{f(1) = 4 \cdot f(0)} \\\\ \mathsf{4 = 4 \cdot f(0)} \\\\ \boxed{\mathsf{f(0) = 1}}$

Por fim, se fizermos $\displaystyle \mathtt{b = - 1}$, então iremos determinar o valor de $\displaystyle \mathtt{f(- 1)}$. Veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(1 + b) = 4 \cdot f(b)} \\\\ \mathsf{f(1 - 1) = 4 \cdot f(- 1)} \\\\ \mathsf{f(0) = 4 \cdot f(- 1)} \\\\ \mathsf{1 = 4 \cdot f(- 1)} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{f(- 1) = \frac{1}{4}}}}$