Question

Uma função f(x) é tal que f(1/x) - 2f(x) = x, para todo x≠0. O valor de f(2) é

A) - 3/2

B) 1/2

C) - 1/2

D) 3/2

E) 2

por favor explicar passo a passo.​

Answer 1

$f\left(\dfrac{1}{x}\right)-2f(x)= x \text{ (1)}$

$x = \dfrac{1}{x}$

$f\left(x\right)-2f\left(\dfrac{1}{x}\right)= \dfrac{1}{x} \text{ (2) }$

Somando $2\cdot \text{(1)}$ com $\text{(2)}$.

$\left[2f\left(\dfrac{1}{x}\right)-4f(x)\right]+\left[f\left(x\right)-2f\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]= 2x+\dfrac{1}{x}$

$-3f(x) = \dfrac{2x^2+1}{x}$

$f(x) = -\dfrac{2x^2+1}{3x}$

$f(2) = -\dfrac{8+1}{6}$

$f(2) = -\dfrac{9}{6}$

$f(2) = -\dfrac{3}{2}$

Outra resolução:

$f\left(\dfrac{1}{x}\right)-2f(x)= x \text{ (1)}$

Fazendo x = 2, visto que queremos f(2):

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)-2f(2)= 2 \text{ (1)}$

Somente com a equação $\text{(1)}$, não podemos encontrar f(2). Precisamos de outra equação. Vamos colocar x = 1/2, a fim de encontrar outra equação com nossos termos:

$f\left(\dfrac{1}{x}\right)-2f(x)= x \text{ (2)}$

$f\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\right)-2f\left(\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{2} \text{ (2)}$

$f\left(2\right)-2f\left(\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{2} \text{ (2)}$

Conseguimos formar um sistema de equações com as equações (1) e (2).

$\begin{cases}f\left(\dfrac{1}{2}\right)-2f(2)= 2 \\~\\ f\left(2\right)-2f\left(\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Queremos resolver para f(2), o valor de f(1/2) pouco nos interessa. Vamos resolver pelo método da substituição.

Usando a primeira equação:

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)-2f(2)= 2$

$f\left(\dfrac{1}{2}\right)= 2+2f(2)$

Substituindo na segunda equação:

$f\left(2\right)-2f\left(\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{2}$

$f\left(2\right)-2\cdot\left[ 2+2f(2)\right]= \dfrac{1}{2}$

Resolvendo para f(2):

$f\left(2\right)-4-4f(2)= \dfrac{1}{2}$

$-3f(2)= 4+\dfrac{1}{2}$

$-3f(2)= \dfrac{9}{2}$

$f(2)= -\dfrac{9}{6}$

$f(2) = -\dfrac{3}{2}$