Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x +1 )= f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x . Sabendo-se quef(2) =1 , podemos concluir quef(5) é igual a
Soluções para a tarefa
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Sabendo que f(2)=1, podemos reescreve-la da seguinte forma: f(1+1)
Em analogia com a fórmula: f(x+1)= f(x)+f(1), percebe-se que o x nessa função foi substituído por 1. Então, substituindo o x na função inteira, temos:
f(x+1)= f(x)+f(1)
f(1+1)= f(1)+f(1)
f(2)= 2.f(1)
Como o enunciado disse, f(2)= 1, vamos substituir o f(2) por esse valor:
1= 2.f(1)
1/2= f(1)
f(1)= 0,5 ou 1/2
Agora que sabemos que f(1)= 0,5 e f(2)= 1, vamos montar um sistema de equações, lembrando da fórmula geral de uma equação de 1° grau:
y=f(x)= ax+b
f(1)= 0,5 -----> y=0,5 , x=1
f(2)= 1 --------> y=1 , x=2
I) (0,5)= a(1)+b
II) (1)= a(2)+b
Isolando o coeficiente independente b na primeira equação:
I) 0,5= a+b
0,5-a= b
b= 0,5-a
Substituindo (b) por (0,5-a) na segunda equação:
II) 1= 2a+b
1= 2a+(0,5-a)
1= 2a+0,5-a
1-0,5= 2a-a
0,5= a
a= 0,5
Agora que achamos o valor do coeficiente a, vamos substitui-lo de volta na primeira equação:
I) b= 0,5-a
b= 0,5-(0,5)
b= 0,5-0,5
b= 0
Agora que temos os coeficientes a e b, basta substitui-los na fórmula geral:
y= ax+b
y= (0,5)x+(0)
y= 0,5x
Ou seja, descobrimos que f(x)= 0,5x.
Portanto, vamos retornar a função inicial do problema:
f(x+1)= f(x)+f(1)
Vamos substituir o f(x) por (0,5x), pois essa é a função que ele representa, e f(1) por 0,5, pois já havíamos calculado esse valor anteriormente:
f(x+1)= (0,5x)+(0,5)
f(x+1)= 0,5x+0,5
O exercício pede que encontremos o valor de f(5), que pode ser escrito da seguinte forma: f(4+1). Com isso, sabemos que o valor a ser substituído no lugar do x é o 4.
f(4+1)= 0,5(4)+0,5
f(5)= 2+0,5
f(5)= 2,5 ou 5/2 (escrevendo na forma de fração irredutível)
Em analogia com a fórmula: f(x+1)= f(x)+f(1), percebe-se que o x nessa função foi substituído por 1. Então, substituindo o x na função inteira, temos:
f(x+1)= f(x)+f(1)
f(1+1)= f(1)+f(1)
f(2)= 2.f(1)
Como o enunciado disse, f(2)= 1, vamos substituir o f(2) por esse valor:
1= 2.f(1)
1/2= f(1)
f(1)= 0,5 ou 1/2
Agora que sabemos que f(1)= 0,5 e f(2)= 1, vamos montar um sistema de equações, lembrando da fórmula geral de uma equação de 1° grau:
y=f(x)= ax+b
f(1)= 0,5 -----> y=0,5 , x=1
f(2)= 1 --------> y=1 , x=2
I) (0,5)= a(1)+b
II) (1)= a(2)+b
Isolando o coeficiente independente b na primeira equação:
I) 0,5= a+b
0,5-a= b
b= 0,5-a
Substituindo (b) por (0,5-a) na segunda equação:
II) 1= 2a+b
1= 2a+(0,5-a)
1= 2a+0,5-a
1-0,5= 2a-a
0,5= a
a= 0,5
Agora que achamos o valor do coeficiente a, vamos substitui-lo de volta na primeira equação:
I) b= 0,5-a
b= 0,5-(0,5)
b= 0,5-0,5
b= 0
Agora que temos os coeficientes a e b, basta substitui-los na fórmula geral:
y= ax+b
y= (0,5)x+(0)
y= 0,5x
Ou seja, descobrimos que f(x)= 0,5x.
Portanto, vamos retornar a função inicial do problema:
f(x+1)= f(x)+f(1)
Vamos substituir o f(x) por (0,5x), pois essa é a função que ele representa, e f(1) por 0,5, pois já havíamos calculado esse valor anteriormente:
f(x+1)= (0,5x)+(0,5)
f(x+1)= 0,5x+0,5
O exercício pede que encontremos o valor de f(5), que pode ser escrito da seguinte forma: f(4+1). Com isso, sabemos que o valor a ser substituído no lugar do x é o 4.
f(4+1)= 0,5(4)+0,5
f(5)= 2+0,5
f(5)= 2,5 ou 5/2 (escrevendo na forma de fração irredutível)
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205
Resposta:
bem mais fácil que a resposta anterior!
Explicação passo-a-passo:
sendo
pode ser escrito como
Agora que temos fica fácil o resto!
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