Question

Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x +1 )= f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x . Sabendo-se quef(2) =1 , podemos concluir quef(5) é igual a

Answer 1

Sabendo que f(2)=1, podemos reescreve-la da seguinte forma: f(1+1)
Em analogia com a fórmula: f(x+1)= f(x)+f(1), percebe-se que o x nessa função foi substituído por 1. Então, substituindo o x na função inteira, temos:

f(x+1)= f(x)+f(1)
f(1+1)= f(1)+f(1)
f(2)= 2.f(1)

Como o enunciado disse, f(2)= 1, vamos substituir o f(2) por esse valor:

1= 2.f(1)
1/2= f(1)
f(1)= 0,5 ou 1/2

Agora que sabemos que f(1)= 0,5  e f(2)= 1, vamos montar um sistema de equações, lembrando da fórmula geral de uma equação de 1° grau:
y=f(x)= ax+b
 
f(1)= 0,5  ----->  y=0,5  ,  x=1
f(2)= 1 -------->  y=1     ,  x=2


I)  (0,5)= a(1)+b
II) (1)= a(2)+b

Isolando o coeficiente independente b na primeira equação:

I) 0,5= a+b
   0,5-a= b
   b= 0,5-a

Substituindo (b) por (0,5-a) na segunda equação:

II) 1= 2a+b
    1= 2a+(0,5-a)
    1= 2a+0,5-a
    1-0,5= 2a-a
    0,5= a 
    a= 0,5

Agora que achamos o valor do coeficiente a, vamos substitui-lo de volta na primeira equação:

I) b= 0,5-a
   b= 0,5-(0,5)
   b= 0,5-0,5
   b= 0

Agora que temos os coeficientes a e b, basta substitui-los na fórmula geral:

y= ax+b
y= (0,5)x+(0)
y= 0,5x

Ou seja, descobrimos que f(x)= 0,5x.

Portanto, vamos retornar a função inicial do problema:

f(x+1)= f(x)+f(1)

Vamos substituir o f(x) por (0,5x), pois essa é a função que ele representa, e f(1) por 0,5, pois já havíamos calculado esse valor anteriormente:

f(x+1)= (0,5x)+(0,5)
f(x+1)= 0,5x+0,5

O exercício pede que encontremos o valor de f(5), que pode ser escrito da seguinte forma: f(4+1). Com isso, sabemos que o valor a ser substituído no lugar do x é o 4.

f(4+1)= 0,5(4)+0,5
f(5)= 2+0,5
f(5)= 2,5  ou  5/2  (escrevendo na forma de fração irredutível)

Answer 2

Resposta:

$f(5) = \frac{5}{2}$ bem mais fácil que a resposta anterior!

Explicação passo-a-passo:

$f(x+1) = f(x) + f(1)$ sendo $f(2) = 1$

$f(1 + 1) = f(1) + f(1)\\f(1 + 1) = 2f(1)\\f(1 + 1)$ pode ser escrito como $f(2)$

$f(2) = 2f(1)\\1 = 2f(1)\\\frac{1}{2} = f(1)$

Agora que temos $f(1) = \frac{1}{2}$ fica fácil o resto!

$f(2 + 1) = f(2) + f(1)\\f(2 + 1) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\\f(3 + 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2}\\f(4 + 1) = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\\f(4 + 1) = f(5) = \frac{5}{2}$