Question

Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

Answer 1

Resposta: F, F, V, F

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Analisando as afirmações sobre diferenciabilidade e continuidade de funções, temos que, a única afirmação verdadeira é a III, alternativa c.

Analisando se a função dada é contínua no ponto x = 2.

As duas sentenças que compõe a lei de formação da função são funções compostas por polinômios, logo, temos que, f(x) será contínua em x = 2 se os limites laterais são iguais e os limites laterais são iguais aos valores assumidos em cada sentença. Como não ocorre a igualdade a função dada não é contínua em x = 2, de fato:

$\dfrac{1}{4} * 2^3 - \dfrac{1}{2} * 2^2 = 0 \neq -3 = \dfrac{-6*2 - 6}{2^2 + 2}$

Temos que, se uma função não é contínua em um ponto então ela não é derivável nesse ponto, dessa forma, as afirmações I, II e IV são falsas, pois f não é derivável em x = 2 e a afirmação III é verdadeira.

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