Uma Fração equivalente a quatro quintos .Somando 3 unidades ao numerador ,obtemos uma fração equivalente ao inverso da fração original.Qual é a fração original?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Nicole, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que uma fração é equivalente a "4/5". Se somarmos "3" unidades ao numerador dessa fração iremos obter outra fração equivalente ao inverso da fração original, ou seja, iremos encontrar uma fração equivalente a "5/4". Determine qual era a fração original.
ii) Veja como vai ser simples: vamos chamar a fração original de "x/y". E como ela é equivalente a 4/5, então teremos que:
x/y = 4/5 . (I).
Agora vamos somar "3" unidades ao numerador e vamos torná-la equivalente ao inverso da fração original. Então ficaremos assim:
(x+3)/y = 5/4 . (II).
iii) Note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima e que são estas:
{x/y = 4/5 . (I)
{(x+3)/y = 5/4 . (II).
iv) Agora vamos por parte. Comecemos a trabalhar pela expressão (I), que é esta:
x/y = 4/5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
5*x = 4*y --- ou apenas:
5x = 4y --- isolando "x", teremos:
x = 4y/5 . (III).
Agora vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos o valor de "x" por "4y/5". Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
(x+3)/y = 5/4 ---- vamos multiplicar em cruz, ficando assim:
4*(x+3) = 5*y ----- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, temos:
4x+12 = 5y ----- passando "12" para o 2º membro, teremos:
4x = 5y - 12 ----- agora vamos substituir "x" por "4y/5" conforme vimos na expressão (III). Assim, fazendo isso, teremos:
4*4y/5 = 5y - 12 ----- desenvolvendo, teremos:
16y/5 = 5y - 12 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
16y = 5*(5y - 12) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
16y = 25y - 60 ---- passando "25y" para o 1º membro, temos;
16y - 25y = - 60 ----- como "16y-25y = -9y", teremos:
- 9y = - 60 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
9y = 60 ---- isolando "y", teremos:
y = 60/9 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", teremos:
y = 20/3 <---- Este será o valor do denominador "y" da expressão original.
Agora, para encontrar o valor do numerador "x" vamos na expressão (III), que é esta:
x = 4y/5 ----- substituindo-se "y" por "20/3", teremos:
x = 4*(20/3) / 5 ----- desenvolvendo o numerador, teremos:
x = (80/3) / 5 ----- ou, o que é a mesma coisa:
x = 80/3*5
x = 80/15 ----- simplificando-se numerador e denominador por "5", iremos ficar com:
x = 16/3 <---- Este é o valor do numerador "x" da expressão original.
v) Finalmente, vamos na fração original que é "x/y" e vamos substituir "x" e "y" por seus valores que ora encontramos acima. Assim:
x/y = (16/3) / (20/3) <---- Esta é a resposta. Ou seja, esta era a fração original pedida, que tem numerador igual a "16/3" e denominador igual a "20/3".
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se a fração x/y é realmente equivalente a 4/5. Vamos ver:
x/y = (16/3) / (20/3) ----- veja que temos uma divisão de frações. Regra: deixa-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:
x/y = (16/3)*(3/20) ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", iremos ficar apenas com:
x/y = 16/20 ---- finalmente, simplificando-se numerador e denominador por "4", iremos ficar apenas com:
x/y = 4/5 <--- Olha aí como é verdade.
Agora vamos somar "3" unidades ao numerador "x" da equação original x/y e vamos ver se ela passa a ser equivalente a 5/4. Vamos ver:
16/3 + 3 = (1*16+3*3)/3 = (16+9)/3 = 25/3 <--- este é o valor do numerador "x" quando adicionado de 3 unidades. E assim, a fração ficaria sendo:
(x+3)/y = (25/3)/(20/3) ---- veja: divisão de frações. Logo:
(x+3)/y = (25/3)*(3/20) ---- simplificando-se tudo por "3" ficaremos com:
(x+3)/y = 25/20 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", teremos:
(x+3)/y = 5/4 <--- Olha aí como é verdade também.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.