Question

Uma formiga se movimenta ao longo do plano sobre a curva $y = 2x^{\frac{3}{2}} - 4$. Determine a distância percorrida pela formiga ao caminhar do ponto (0,−4) ao ponto (1,−2)

Answer 1

Resposta:

A distância percorrida pela formiga será de aproximadamente 2,34 u.c.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar o comprimento de uma curva definida pelo gráfico de uma função contínua.

$C=\int\limits^b_a {\sqrt{1+(f'(x))^2}} \, dx$

Assim, dada a função

$y=2x^{\frac{3}{2}}-4$ obtemos a sua derivada $y'=3x^{\frac{1}{2}}$ e pelos pontos (0,-4) e (1,-2) temos os limites de integração a = 0 e b = 1.

Substituindo na integral temos:

$C=\int\limits^b_a {\sqrt{1+(f'(x))^2}} \, dx$

$C=\int\limits^1_0 {\sqrt{1+(3x^{\frac{1}{2}})^2}} \, dx$

$C=\int\limits^1_0 {\sqrt{1+9x}} \, dx\\\\u=1+9x\\\\du=9dx$

$C=\int\limits^1_0 {\sqrt{u} \, \dfrac{du}{9}$

$C=\dfrac{1}{9}\int\limits^1_0 {\sqrt{u} \, du$

$C=\dfrac{1}{9}\cdot\left[\dfrac{2}{3}\cdot(1+9x)^{\frac{3}{2}}|_0^1\right]$

$C=\dfrac{20\sqrt{10}}{27} \ u.c. \ ou \ C\approx2,34 \ u.c.$