Uma formiga está localizada sobre o plano cartesiano no ponto A de coordenadas (2,1).
Indique as novas coordenadas da formiga depois que ela, partindo do ponto A, se deslocar três
unidades para a direita e duas unidades para baixo.
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binacorreamacha4046
24.03.2018
Matemática
Ensino médio (secundário)
respondido • verificado por especialistas
Uma formiga se desloca em espiral sobre um plano cartesiano, partindo da origem e indo de um ponto de coordenadas inteiras a outro, como mostra a figura, gastando um segundo para percorrer uma unidade de comprimento.
Após 3 minutos de deslocamento, sem nenhuma parada, a formiga estará no ponto:
A) (-5,-7)
B) (-5,7)
C) (7,5)
D) (7,-4)
E) (7,-5)
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andre19santos
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Após 3 minutos de deslocamento, a formiga estará no ponto (7, -5).
Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:
De acordo com a figura, vemos que os dois primeiros movimentos da formiga consistem em se deslocar uma unidade para a direita e uma unidade para baixo;
Os dois próximos movimentos consistem em se deslocar duas unidades para a esquerda e dois para cima;
Considerando cada par de movimento como um único, teremos uma PA de razão 2 e primeiro termo 2;
Com essas informações, temos que as distâncias percorridas pela formiga a cada movimento serão: (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...). Sabemos que a soma desses movimentos deve ser igual a 180 (pois 180 segundos = 3 minutos), então:
180 = (2 + an).n/2
360 = (2 + 2 + (n-1).2).n
360 = (2 + 2n).n
2n² + 2n = 360
n² + n - 180 = 0
A raiz positiva dessa equação é aproximadamente igual a 13, logo, no 13° par de movimento, se passa 3 minutos, calculando o termo 13:
a13 = 2 + (13 - 1).2
a13 = 2 + 24
a13 = 26
A soma dos 13 primeiro termos:
S13 = (2 + 26).13/2
S13 = 182
Para movimentos ímpares, a formiga está descendo, logo, no 13° movimento ela estará descendo (no 4° quadrante). Note que cada par de movimentos resulta no acréscimo das coordenadas em 1, então no 13° movimento, ela estará na coordenada (7, -7), dois segundos antes, ela estaria 2 unidades acima, em (7, -5)
Resposta: E
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