Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de $ 200 por unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para x unidades for C(x)= 500000 + 80x + 0,003x2 e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30000 unidades em um tempo especificado, a quantidade de unidades de penicilina que deve ser fabricada e vendida naquele tempo para maximizar o lucro é de:
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Temos que o custo de produção é dado pela seguinte função:
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x²
Temos também que o lucro total será dado pela seguinte função:
L(x) = T(x) - C(x)
O custo de produção de cada unidade é de 200, então, o custo de produção de x unidades é de 200x, agora podemos aplicar isso em T(x) e subtrair C(x):
L(x) = 200x - (500.000 + 80x + 0,003x²)
L(x) = 200x - 80x - 500.000 - 0,003x²
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x²
Agora que encontramos a função do lucro, precisamos derivá-la e igualar a zero para encontrar o ponto crítico da função:
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x² (aplicando a regra da potência)
L'(x) = 120 - 0,006x (igualando a zero)
120 - 0,006x = 0
- 0,006x = 0 - 120
x = -120 / -0,006
x = 20.000
O ponto crítico da função é de 20.000 unidades de penicilina.
Considerando que o máximo de produção é de 30.000 unidades e o mínimo de produção é de 0 unidades (não produzir nada), iremos aplicar os valores de 0, 20.000 e 30.000 na função original do lucro, e não na sua derivada:
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x²
L(0) = 120(0) - 500.000 - 0,003(0)²
L(0) = -500.000 dólares
==============================================
L(20.000) = 120(20.000) - 500.000 - 0,003(20.000)²
L(20.000) = 700.000 dólares
==============================================
L(30.000) = 120(30.000) - 500.000 - 0,003(30.000)²
L(30.000) = 400.000 dólares
Analisando os resultados, percebemos que a firma terá seu lucro máximo quando forem produzidas 20.000 unidades de penicilina líquida.
Caso tenha restado alguma dúvida, comente e ficarei contente em respondê-la.
Espero ter ajudado.
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x²
Temos também que o lucro total será dado pela seguinte função:
L(x) = T(x) - C(x)
O custo de produção de cada unidade é de 200, então, o custo de produção de x unidades é de 200x, agora podemos aplicar isso em T(x) e subtrair C(x):
L(x) = 200x - (500.000 + 80x + 0,003x²)
L(x) = 200x - 80x - 500.000 - 0,003x²
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x²
Agora que encontramos a função do lucro, precisamos derivá-la e igualar a zero para encontrar o ponto crítico da função:
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x² (aplicando a regra da potência)
L'(x) = 120 - 0,006x (igualando a zero)
120 - 0,006x = 0
- 0,006x = 0 - 120
x = -120 / -0,006
x = 20.000
O ponto crítico da função é de 20.000 unidades de penicilina.
Considerando que o máximo de produção é de 30.000 unidades e o mínimo de produção é de 0 unidades (não produzir nada), iremos aplicar os valores de 0, 20.000 e 30.000 na função original do lucro, e não na sua derivada:
L(x) = 120x - 500.000 - 0,003x²
L(0) = 120(0) - 500.000 - 0,003(0)²
L(0) = -500.000 dólares
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L(20.000) = 120(20.000) - 500.000 - 0,003(20.000)²
L(20.000) = 700.000 dólares
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L(30.000) = 120(30.000) - 500.000 - 0,003(30.000)²
L(30.000) = 400.000 dólares
Analisando os resultados, percebemos que a firma terá seu lucro máximo quando forem produzidas 20.000 unidades de penicilina líquida.
Caso tenha restado alguma dúvida, comente e ficarei contente em respondê-la.
Espero ter ajudado.
skilevolution:
Excelente deve ter dado muito trabalho fico muito agradecido pois me ajudou muito
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