Física, perguntado por lucas27484, 6 meses atrás

Uma força atuando sobre uma peça de uma máquina é dada pela expressão F = (−5, 00N) ^i + (4, 00N) ^j. O vetor da origem ao ponto onde a força é aplicada é dado por r = (−0.450m) ^i + (0.150m) ^j.

a) Faça um diagrama mostrando r, F , e o sentido do torque.

b) Use a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido do torque.

c) Determine algebricamente o vetor torque produzido por essa força.
Verifique se a direção e o sentido do torque são iguais
aos obtidos no item (b)

Soluções para a tarefa

Respondido por Lionelson

Vide anexo.

Atenção aos eixos.

Coloque a palma da mão no sentido de r, feche os dedos no sentido de F, para aonde seu polegar apontar, é o sentido do torque.

Lembre-se que o torque é sempre ortogonal ao plano dos vetores r e F.

Podemos determinar o momento de uma força (às vezes também chamado de torque) através do produto vetorial:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O = \sum_{i=1}^{n} \left(P_i-O\right)\wedge \vec{F}_i\end{gathered}$}$

Se quisermos em relação ao ponto O, e ele coincidir de ser a origem do sistema de coordenadas, podemos dizer ainda que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{\left(P_i-O\right)}_{= \vec{r}_i}\wedge \,\vec{F}_i\end{gathered}$}$

Então, se preferir, podemos calcular o torque de uma força em relação a origem como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O = \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i\wedge \,\vec{F}_i\end{gathered}$}$

Como só temos uma força, podemos reduzir para:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O = \sum_{i=1}^{1} \vec{r}_i\wedge \,\vec{F}_i\\ \\\vec{M}_O = \vec{r}\wedge \vec{F}\\ \\\end{gathered}$}$

Para calcular o produto vetorial entre dois vetores u e v, fazemos o determinante:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u} = \left(u_1, \ u_2, \ u_3\right) \quad \vec{v} = \left(v_1, \ v_2, \ v_3\right) \\ \\\vec{u} \wedge \vec{v} = \left|\begin{array}{c c c}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\u_1 & u_2 & u_3 \\v_1 & v_2 & v_3 \\\end{array}\right|\end{gathered}$}$

Desenvolvendo por Laplace podemos simplificar para:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u} \wedge \vec{v} = \left|\begin{array}{c c}u_2 & u_3 \\v_2 & v_3\end{array}\right| \hat{\imath} - \left|\begin{array}{c c}u_1 & u_3\\ v_1 & v_3\\ \end{array}\right| \hat{\jmath} + \left|\begin{array}{c c}u_1 & u_2 \\v_1 & v_2\end{array}\right| \hat{k}\end{gathered}$}$

Porém, note que nosso problema está apenas no plano xy, logo eles tem coordenadas z = 0, veja no produto acima que se v3 e u3 são zero, os determinantes de i e j serão zero, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}u_3 = v_3 = 0 \Rightarrow \vec{u} \wedge \vec{v} = \left|\begin{array}{c c}u_1 & u_2 \\v_1 & v_2\end{array}\right| \hat{k}\end{gathered}$}$

Portanto, como estamos no plano, o torque será dado por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O=\vec{r} \wedge \vec{F} = \left|\begin{array}{c c}r_1 & r_2 \\F_1 & F_2\end{array}\right| \hat{k}\end{gathered}$}$

Sendo

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{r} = \left(r_1, \ r_2, \ r_3\right) \quad \vec{F} = \left(F_1, \ F_2, \ F_3\right)\end{gathered}$}$

Colocando os dados do enunciado, que são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{r} = \left(-\frac{9}{20}, \ \frac{3}{20}, \ 0\right) \quad \vec{F} = \left(-5, \ 4, \ 0\right)\end{gathered}$}$

Nosso torque é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{M}_O=\vec{r} \wedge \vec{F} = \left|\begin{array}{c c}-\frac{9}{20} & \frac{3}{20} \\\\-5 & 4\end{array}\right| \hat{k}\\ \\\vec{M}_O =\left[ -\frac{9}{20}\cdot 4 -\left(\frac{3}{20}\cdot -5\right)\right]\hat{k}\\ \\\vec{M}_O=\left[ -\frac{9}{5} -\left(-\frac{3}{4}\right)\right]\hat{k}\\ \\\vec{M}_O=\left[ -\frac{9}{5} + \frac{3}{4}\right]\hat{k}\\ \\\vec{M}_O= -\frac{21}{20} \hat{k}\\ \\\end{gathered}$}$