Question

Uma fonte luminosa é colocada no fundo de uma piscina de profundidade H=1,8m. Coloca-se também, um disco opaco de raio r=1,0m com o centro alinhado ao posicionamento da fonte, como mostra a figura. Sabendo que um anel luminoso é formado pela luz que sai da superfície superior da piscina, que o índice de refração do ar vale 1; que o índice de refração da água vale 1,33 e que (se necessário) Π=3, qual a área aproximada em m² do anel luminoso?

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado podemos afirmar que a área aproximada em m² do anel luminoso é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} \approx 9{,}50\: m^2 } }$.

A refração da luz é a variação de velocidade sofrida pela luz ao passar de um meio de propagação para outro.

Ângulo limite é um ângulo para qual um raio de luz incidente refrata-se e sai paralelo à superfície.

O seno do ângulo limite é a razão entre o índice menor pelo o índice maior.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{n_{\sf menor} }{ n_{maior} } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf H = 1{,}8\: m \\ \sf r = 1{,}0\: m\\ \sf n_{\sf ar} = 1\\ \sf n_{\sf \acute{a}gua } = 1{,}33 = \dfrac{4}{3} \\ \sf \pi = 3 \\\sf A_{\sf coroa } \approx \: ?\: m^2 \end{cases} } }$

Analisando as figuras em anexo, temos:

A área aproximada em m² do anel luminoso é dado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot (R^{2} -r^{2}) } }$

Precisamos deter o valor R grande aplicando as razões trigonométricas no triangulo retângulo.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{L} = \dfrac{\sin{L}}{\cos{L}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sin{L} = \dfrac{n_{\sf menor} }{ n_{maior} } = \dfrac{1}{4/3} = \dfrac{3}{4} } }$

Determinar o cosseno, aplicando a relação fundamental da trigonometria.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ ( \sin{L})^2 + (\cos{L})^2 = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \frac{3}{4} \right )^2 + (\cos{L})^2 = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (\cos{L})^2 = 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16 - 9}{16} = \dfrac{7}{16} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{L} = \sqrt{\dfrac{7}{16} } = \dfrac{\sqrt{7} }{4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{R}{1{,}8} = \frac{3/4}{ \sqrt{7} / 4} \Rightarrow \sqrt{7} \: R = 3 \cdot 1{,}8 \Rightarrow R = \dfrac{5{,}4}{\sqrt{7} } } }$

Agora determinar a área da coroa.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = \pi \cdot (R^{2} -r^{2}) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \left ( \dfrac{5{,}4}{ \sqrt{7} } \right)^2 -1^{2} \right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \dfrac{29{,}16}{7} -1 \right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \left ( \dfrac{29{,}16 - 7}{7} \right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = 3 \cdot \dfrac{22{,}16 }{7} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\sf coroa} = \dfrac{66{,}48 }{7} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\sf coroa} \approx 9{,}50 \: m^2 }$

Answer 2

Resposta:

Explicação:

Pela figura nota-se que a região mais externa da superfície não iluminada que se trata de ângulo limite.

$senL=\frac{n_{ar}}{n_{agua} } \\\\senL=\frac{1}{1,33 }\\\\senL=0,75== > L=48,7^o$

Na região iluminada é possível observar um triângulo retângulo com catetos H e x (em azul mais escuro).

$tg48,7^o=\frac{x}{H} \\\\1,14=\frac{x}{1,8} \\\\x = 1,14*1,8\\\\x=2\:\:\:aproximadamente$

A área iluminada na superfície é uma coroa circular cuja área é

$A=\pi (R^2-r^2)\\\\A=\pi (x^2-1^2)\\\\A=\pi (2^2-1^2)\\\\A=\pi (4-1)\\\\A=3\pi\\\\A = 3*3\\\\A = 9\:m^2$