Question

Uma folha retangular de cartolina com 30cm de comprimento por 9cm dr largura foi separada em dois trapézios por meio de um corte de 15cm feito com uma tesoura, conforme mostra a figura a seguir . Dado que a área de um dos trapézios é o dobro da aérea do outro , calcule as medidas das bases do trapézio de maior área

Answer 1

Sa = Area do Trapezio A
Sb = Area do Trapezio B
Sa = 2Sb

Sa = (A + a)9 / 2
Sb = (B + b)9 / 2

a + B = 30
b + A = 30

a + B + b + A = 60
(A + a) + (B + b) = 60

A + a = 2Sa / 9
B + b = 2Sb / 9

2Sa/9 + 2Sb/9 = 60

Sa = 2Sb

2(2Sb)/9 + 2Sb/9 = 60

4Sb + 2Sb = 60 x 9
6Sb = 540
Sb = 90

Sa = 2 x 90

Sa = 180cm

A + a = 2Sa / 9
A + a = 360/9 
A + a= 40 cm

A + b = 30
B + b = 2Sb/9
B + b = 20 cm

(A + a) - ( A + b) = 10
A - a - A - b = 10
-a - b = 10
b = a - 10

Utilizando o triangulo retangulo com hipotenusa igua a 15 cm:

15² = 9² + (30 - a - b)²
225 = 81 + (30 - a - (a - 10))²
225 = 81 + (30 - a - a +10)²
225 = 81 + (40 - 2a)²
(40 - 2a)² = 225 - 81
(40 - 2a)² = 144
40 - 2a = 12
-2a = -28
2a = 28
a= 14 cm

A + a = 40
A + 14 = 40
A = 40 - 14
A = 26 cm

Answer 2

As medidas das bases do trapézio de maior área são:

26 cm e 14 cm

A altura dos dois trapézios é a mesma, 9 cm.

As medidas das bases chamarei de:

w = base maior do menor trapézio

x = base menor do menor trapézio

y = base menor do maior trapézio

z = base maior do maior trapézio

A área de um trapézio é dada por:

A = (B + b).h

          2

A área do trapézio maior é:

(z + y).9

    2  

A área do trapézio maior é:

(w + x).9

     2

Por Pitágoras, calculamos a medida de a na figura.

a² + 9² = 15²

a² + 81 = 225

a² = 225 - 81

a² = 144

a = √144

a = 12

Então, temos:

w = x + a

w = x + 12

Assim, a área do trapézio menor é:

A₁ = (x + 12 + x).9

             2

A₁ = (12 + 2x).9

            2

A₁ = 108 + 18x

           2

A₁ = 54 + 9x

A área do trapézio maior é o dobro disso. Logo:

A₂ = 2.(54 + 9x)

A₂ = 108 + 18x

Pela fórmula, temos:

A₂ = (y + z).9

             2

Sabemos que;

z = 30 - x

y = z - a

y = 30 - x - a

y = 30 - x - 12

y = 18 - x

108 + 18x = (18 - x + 30 - x).9

                              2

108 + 18x = (48 - 2x).9

                           2

108 + 18x = (24 - x).9

108 + 18x = 216 - 9x

18x + 9x = 216 - 108

27x = 108

x = 108

     27

x = 4

Pronto! Agora, podemos calcular as medidas y e z.

z = 30 - x

z = 30 - 4

z = 26

y = 18 - x

y = 18 - 4

y = 14

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