Question

Uma folha de papel quadrada ABCD com 20cm de lado foi dobrada de modo que o ponto B coincidisse com o ponto médio Q do lado CD (BP=PQ), como indicado na figura abaixo

a) Mostre que o comprimento do segmento BP é igual a 12,5cm;

b) Mostre os triângulos QCP e RDQ são semelhantes;

c) Calcule o comprimento do segmento RD.

Answer 1

a) Chamemos a medida CP de x. Assim, a medida BP pode ser representada por 20 - x.

Como PQ = BP, PQ também mede 20 - x. Assim, temos um triângulo retângulo no canto superior direito com as seguintes medidas:

a = 20 - x

b = 10  

c = x

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

a² = b² + c²

(20 - x)² = 10² + x²

400 - 40x + x² = 100 + x²

x² - x² - 40x + 400 - 100 = 0

- 40x + 300 = 0

- 40x = - 300

40x = 300

x = 300/40

x = 7,5  cm

BP = 20 - x

BP = 20 - 7,5

BP = 12,5 m (está provado!)

b)  Se virarmos o triângulo QCP sobre o triângulo RDQ, veremos que eles são semelhantes porque o ângulo C é congruente a D (C = D = 90°) e os lados CQ e DQ têm a mesma medida.

Veja a figura abaixo.

c) Representarei a medida do segmento RD por y.

Como os triângulos QCP e RDQ são semelhantes, os seus lados correspondentes têm medidas proporcionais. Logo, temos:

y está para 10, assim como 10 está para x.

y / 10 = 10 / x

y / 10 = 10 / 7,5

7,5.y = 10.10

7,5y = 100

y = 100 / 7,5

y = 13,33

RD = 13,33 cm