Question

Uma festa deve ser enfeitada com bolas grandes e pequenas. As 20 pequenas devem ser todas da mesma cor, enquanto que as 4 grandes devem ser de cores diferentes. Nenhuma bola grande deve ser da mesma cor das bolas pequenas. Sabendo-se que existem bolinhas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e bolas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis, amarelas e rosas, de quantos modos distintos é possível escolher as cores das bolas que irão enfeitar a festa?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos dois casos:

• As bolinhas pequenas são brancas ou azuis

Nesse caso, há 2 possibilidades para escolha da cor das bolinhas pequenas, brancas ou azuis

Já as bolas grandes não podem ter a mesma cor que as bolinhas pequenas. São seis cores: branco, vermelho, verde, azul, amarelo e rosa. Precisamos descartar uma, que será a cor das bolinhas pequenas. Teremos 5 cores para 4 bolas. Há $\dbinom{5}{4}=\dfrac{5!}{4!\cdot1!}=\dfrac{5\cdot4!}{4!}=5$ maneiras de escolher 4 cores dentre 5 disponíveis

Nesse caso há 2 x 5 = 10 modos de escolher as cores das bolas

• As bolinhas pequenas são pretas ou laranjas

Novamente, temos 2 possibilidades para cor das bolinhas pequenas. Mas agora as seis cores estão disponíveis e precisamos escolher 4 delas para as bolas grandes. Isso pode ser feito de $\dbinom{6}{4}=\dfrac{6!}{4!\cdot2!}=\dfrac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2!}=\dfrac{6\cdot5}{2}=\dfrac{30}{2}=15$ maneiras

Nesse caso temos 2 x 15 = 30 possibilidades

Logo, no total há 10 + 30 = 40 modos de escolher as cores das bolas