Question

Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0,8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0,7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade 0,5. Quando não há nem briga nem congestionamento, o pai dirige tranquilo e não perde a paciência.
Determine a probabilidade de não ter havido congestionamento sabendo que o pai não perdeu a paciência com seus filhos.

Answer 1

Esse exercício pode ser resolvido com sucessivas aplicações do teorema de Bayes. Se vc já conhece isso, pode pular para depois da fórmula (III), se não recomendaria ler tudo. Para fixar a notação, primeiro precisamos falar de probabilidade condicional. Dados eventos X e Y, a probabilidade de acontecer X dado que Y ocorreu é denotada por P(X|Y)  e chamada de probabilidade condicional. Podemos calculada através da fórmula

P(X|Y) = P(X ∩ Y) / P(Y)           ( I )

Lembrando que X ∩ Y representa (intuitivamente) o evento no qual acontecem X e Y simultaneamente

O teorema de Bayes consiste no seguinte. Digamos que temos um evento A e o evento A* denota o seu complementar. Ou seja, A* é o evento 'não acontecer A'. Assim temos

P(X) = P(X ∩ A) + P(X ∩ A*)         ( II )

intuitivamente, isso quer dizer o seguinte: sabemos que A vai acontecer ou A* vai. Assim, se X ocorrer temos dois casos: A ocorreu ou A* ocorreu. Então a chance de X ocorrer é a soma das chances de X e A acontecerem simultaneamente mais a chance de X e A* acontecerem simultaneamente. Isso que significa a formula ( II ). O raciocínio funciona por que A, A* formam uma partição do espaço amostral, então isso pode ser generalizado mas eu vou me limitar a esse caso já que só isso é suficiente pro problema.

O teorema de Bayes consiste em aplicar ( I ) na equação ( II ). Assim obtemos:

P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A*)P(A*)          ( III )

Voltando ao problema, vamos considerar os seguintes eventos:

C = haver congestionamento

B = os filhos brigarem

P = o pai perder a paciência

E também os respectivos eventos complementares:

C* = não haver congestionamento

B* = os filhos não brigarem

P* = o pai não perder a paciência

Precisamos calcular a probabilidade de não ter ocorrido congestionamento sabendo que o pai não perdeu a paciência. Ou seja, queremos calcular P(C*|P*). Pela fórmula  ( I ) isso é o mesmo que P(C* ∩ P*) / P(P*). Então temos que calcular a probabilidade desses eventos. Vamos reunir  as informações que temos do enunciado.

1) A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0,6. Ou seja:

P(C) = 0,6

2) Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0,8. Portanto:

P(B|C) = 0,8

3) Sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Logo:

P(B|C*) = 0,4

4) Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0,7.  Assim:

P(P|B∩C) = P(P|B∩C*) = 0,7

5) Havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade 0,5. Então:

P(P|B* ∩ C) = 0,5

6) Quando não há nem briga nem congestionamento, o pai dirige tranquilo e não perde a paciência. Ou seja:

P(P|B* ∩ C*) = 0

Agora vamos usar os resultados para resolver o problema. Primeiro vamos aplicar o teorema de Bayes (equação  ( III )) usando 1), 2) e 3). Assim temos:

P(B) = P(B|C)P(C) + P(B|C*)P(C*)

Usando os valores fornecidos e também que P(C) + P(C*) = 1 teremos:

P(B)  = 0,8*0,6 + 0,4*0,4 = 0,64

Com isso também concluímos que

P(B*) = 1 - P(B) = 0,36

P(B∩C) = P(B|C)P(C) = 0,48

P(B∩C*) = P(B|C*)P(C*) = 0,16

P(B*∩C) = P(C) - P(B∩C) = 0,12

P(B*∩C*) = P(B*) - P(B*∩C) = 0,24

Observamos agora que a informação 4) permite concluir que P(P|B) = 0,7. De fato:

P(P∩B) = P(P∩B∩C) + P(P∩B∩C*)

P(P∩B) = P(P|B∩C) P(B∩C) + P(P|B∩C*) P(B∩C*)

P(P∩B) =0,7 [ P(B∩C) + P(B∩C*) ] = 0,7 P(B)

P(P|B) = P(P∩B)/P(B) = 0,7

Agora obteremos P(P|B*), para usarmos novamente o teorema de Bayes. Para isso, observamos que aplicando a equação ( II ) para X = P ∩ B* teremos:

P(P∩ B*) = P( P ∩ B* ∩ C) + P( P ∩ B* ∩ C*)

P(P ∩ B*) = P( P|B* ∩ C) P(B* ∩ C) + P( P|B* ∩ C*) P(B* ∩ C*)

Substituindo os valores de5) e 6) e os encontrados anteriormente teremos:

P(P ∩ B*) = 0,5*0,12 + 0*0,24 = 0,06

Logo P(P|B*) = P(P∩B*)/P(B*) = 0,06/0,36 = 1/6

Aplicando então o teorema de Bayes obteremos:

P(P) = P(P|B)P(B) + P(P|B*)P(B*)

P(P) = 0,7*0,64 + 0,06

P(P) = 0,7*0,64

Com isso também temos P(P*) = 1- 0,7*0,64

Por fim, resta calcular P(P*∩C*). Para isso observamos que

P(P∩C*) = P(P∩C*∩B)  + P(P∩C*∩B*)

P(P∩C*) = P(P|C*∩B)P(B∩C*)  + P(P|C*∩B*)P(B*∩C*)

P(P∩C*) = 0,7*0,16 + 0*0,24 = 0,7*0,16

Logo:

P(P*∩C*) = P(C*) - P(P∩C*) = 0,4 - 0,7*0,16

Portanto, a resposta procurada é, (se eu nao tiver errado nenhuma conta):

P(C*|P*) = P(P*∩C*) / P(P*) = (0,4 - 0,7*0,16 ) / (1- 0,7*0,64) =12/23 ≈ 0,52

Resposta:

A probabilidade é de 12/23 , que é aproximadamente 0,52