Question

uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno de mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?​

Answer 1

✅ Após os cálculos, concluímos que o total de disposições diferentes das 6 pessoas de uma família, com pai e mãe juntos,  em uma mesa redonda é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf T_{D} = 48\:\:\:}}\end{gathered} }$

Uma família é formada por:

        $\Large\begin{cases}\tt Pai\\ \tt M\tilde{a}e\\ \tt 4\:\:filhos\end{cases}$

Então temos um total de "6" pessoas.

Observe que a família será acomodada em uma mesa redonda - circular. Neste caso, teremos uma permutação circular, ou seja:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt P_{C}_{n} = (n - 1)!\end{gathered}$

Agora devemos observar a restrição de pai e mãe sentarem sempre juntos. Neste caso, o pari e mãe sempre serão representados por uma pessoa. Portanto, teremos ao todo "5" pessoas.

Então:

               $\Large\begin{cases}\tt n = 5\\ \tt m = 2\end{cases}$

Neste caso, o total de disposições "Td" diferentes desta família é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T_{D} = P_{C}_{n} \cdot P_{m}\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = (5 - 1)!\cdot2!\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 4!\cdot2!\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 48\end{gathered}$

✅ Portanto, o total de disposições é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt T_{D} = 48\end{gathered}$

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